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矩阵的秩及其求法
矩阵秩的概念
k阶子式
定义1： 设 A = ( a i j ) m × n A=(a_{ij})_{m\times n} A=(aij)m×n在 A A A中任取 k k k行 k k k列交叉处元素按原相对位置组成的 k k k ( 1 ≤ k ≤ m i n { m . n } ) (1\leq k\leq min\lbrace m.n \rbrace) (1≤k≤min{
m.n})阶行列式，称为 A A A的一个 k k k阶子式。 m × n m\times n m×n的矩阵 A A A共有 C m k C n k C^k_mC^k_n CmkCnk个 k k k阶子式。
例如：
矩阵A的第一、二行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 D 2 ′ = ∣ 2 4 3 1 ∣ D’_2=\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 3 & 1\\ \end{matrix} \right| D2′=∣∣∣∣2341∣∣∣∣
矩阵A的第一、三行，第一、三列相交处的元素所构成的二阶子式为 D 2 ′ ′ = ∣ 1 3 1 1 ∣ D”_2=\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 1 & 1\\ \end{matrix} \right| D2′′=∣∣∣∣1131∣∣∣∣
例如：
A = ( 1 2 3 4 1 3 4 1 1 4 1 2 ) A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 1 \\ 1 & 4 & 1 & 2 \\ \end{matrix} \right) A=⎝⎛111234341412⎠⎞共有 C 3 2 C 4 2 = 18 C^2_3C^2_4=18 C32C42=18个二阶子式，上面那两个就是其中之一。
共有 C 3 3 C 4 3 = 4 C^3_3C^3_4=4 C33C43=4个三阶子式。 D 3 = ∣ 1 3 4 1 4 1 1 1 2 ∣ D_3=\left| \begin{matrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{matrix} \right| D3=∣∣∣∣∣∣111341412∣∣∣∣∣∣就是A的一个三阶子式。
矩阵的秩
定义2： 设 A = ( a i j ) m × n A=(a_{ij})_{m\times n} A=(aij)m×n，有r阶子式不为0，任何r+1子式（如果存在的话）全为0，称r为矩阵A的秩，记做R(A)或秩(A)。
矩阵秩的求法
1、子式判别法（定义）
例1 A = ( 1 2 3 0 0 1 0 1 0 0 1 0 ) 求 R ( A ) \qquad A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right) \qquad 求 R(A) A=⎝⎛100210301010⎠⎞求R(A)。
解： ∣ 1 2 3 0 1 0 0 0 1 ∣ = 1 ≠ 0 \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right|=1\neq0 ∣∣∣∣∣∣100210301∣∣∣∣∣∣=1=0 存在一个三阶子式不为0，A没有四阶子式，所以 R ( A ) = 3 R(A)=3 R(A)=3。
例2 C = ( 1 1 0 0 1 0 0 0 1 ) D = ( 1 2 5 0 3 4 0 0 0 ) E = ( 2 1 2 3 5 0 8 1 5 3 0 0 0 7 2 0 0 0 0 0 ) \qquad C=\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) \ \ D=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right) \ \ E=\left( \begin{matrix} 2 & 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 8 & 1 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 7 & 2 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right) C=⎝⎛100110001⎠⎞ D=⎝⎛100230540⎠⎞ E=⎝⎜⎜⎛20001800210035705320⎠⎟⎟⎞
R ( C ) = 3 ， R ( D ) = 2 ， R ( E ) = 3 R(C)=3，R(D)=2，R(E)=3 R(C)=3，R(D)=2，R(E)=3
例3 A = ( a 1 1 1 a 1 1 1 a ) 如 果 R ( A ) < 3 ， 求 a \qquad A=\left( \begin{matrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \\ \end{matrix} \right) 如果 R(A)<3，求a A=⎝⎛a111a111a⎠⎞如果R(A)<3，求a。
R ( A ) < 3 R(A)<3 R(A)<3，A的所有三阶子式全为0，也就是A的行列式为0。解得 a = 1 或 a = − 2 a=1或a=-2 a=1或a=−2
2、用初等行变换求矩阵的秩
定理：矩阵初等变换不改变矩阵的秩
注：
- r i ↔ r j r_i \leftrightarrow r_j ri↔rj 只改变子行列式的符号
- k r i kr_i kri 是A中对应子式的k倍
- r i + k r j r_i+kr_j ri+krj 是行列式运算的性质
将 矩阵 A A A 用初等行变换化为 阶梯型矩阵 B B B ， R ( A ) = R ( B ) = R(A)=R(B)= R(A)=R(B)=矩阵 B B B的非零行行数
例4 A = ( 1 0 2 − 4 2 1 3 − 6 − 1 − 1 − 1 2 ) 求 R ( A ) \qquad A=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 2 & -4 \\ 2 & 1 & 3 & -6 \\ -1 & -1 & -1 & 2 \\ \end{matrix} \right) \qquad 求 R(A) A=⎝⎛12−101−123−1−4−62⎠⎞求R(A)
解： A ⟶ r 2 − 2 r 1 ( 1 0 2 − 4 0 1 − 1 2 − 1 − 1 − 1 2 ) ⟶ r 3 + r 1 ( 1 0 2 − 4 0 1 − 1 2 0 − 1 1 − 2 ) ⟶ r 3 + r 2 ( 1 0 2 − 4 0 1 − 1 2 0 0 0 0 ) R ( A ) = 2 \qquad A \stackrel{r_2-2r_1}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 2 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & -1 & 2 \\ \end{matrix} \right) \stackrel{r_3+r_1}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 2 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ \end{matrix} \right) \stackrel{r_3+r_2}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 2 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right) \qquad R(A)=2 A⟶r2−2r1⎝⎛10−101−12−1−1−422⎠⎞⟶r3+r1⎝⎛10001−12−11−42−2⎠⎞⟶r3+r2⎝⎛1000102−10−420⎠⎞R(A)=2
例5 \qquad 求矩阵 A = ( 4 − 2 1 1 2 − 2 − 1 8 − 7 2 14 − 13 ) A=\left( \begin{matrix} 4 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \\ -1 & 8 & -7 \\ 2 & 14 & -13 \\ \end{matrix} \right) A=⎝⎜⎜⎛41−12−228141−2−7−13⎠⎟⎟⎞的秩
解： A ⟶ r 1 ↔ r 2 ( 1 2 − 2 4 − 2 1 − 1 8 − 7 2 14 − 13 ) — r 2 − 4 r 1 r 3 + r 1 r 4 − 2 r 1 ⟶ ( 1 2 − 2 0 − 10 9 0 10 − 9 0 10 − 9 ) — r 3 + r 2 r 4 + r 2 ⟶ ( 1 2 − 2 0 10 − 9 0 0 0 0 0 0 ) = B R ( A ) = R ( B ) = 2 A \stackrel{r_1 \leftrightarrow r_2}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 2 & -2 \\ 4 & -2 & 1 \\ -1 & 8 & -7 \\ 2 & 14 & -13 \\ \end{matrix} \right) —\begin{matrix} {r_2-4r_1} \\ {r_3+r_1} \\ {r_4-2r_1} \end{matrix}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & -10 & 9 \\ 0 & 10 & -9 \\ 0 & 10 & -9 \\ \end{matrix} \right) —\begin{matrix} {r_3+r_2} \\ {r_4+r_2} \end{matrix}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 10 & -9 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)=B \\ R(A)=R(B)=2 A⟶r1↔r2⎝⎜⎜⎛14−122−2814−21−7−13⎠⎟⎟⎞—r2−4r1r3+r1r4−2r1⟶⎝⎜⎜⎛10002−101010−29−9−9⎠⎟⎟⎞—r3+r2r4+r2⟶⎝⎜⎜⎛100021000−2−900⎠⎟⎟⎞=BR(A)=R(B)=2
例6 \qquad 设矩阵 A = ( 1 − 1 1 2 3 λ − 1 2 5 3 μ 6 ) A=\left( \begin{matrix} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 3 & \lambda & -1 & 2 \\ 5 & 3 & \mu & 6 \\ \end{matrix} \right) A=⎝⎛135−1λ31−1μ226⎠⎞，且 R ( A ) = 2 R(A)=2 R(A)=2，求 λ \lambda λ， μ \mu μ
解： A = ( 1 − 1 1 2 3 λ − 1 2 5 3 μ 6 ) ⟶ ( 1 − 1 1 2 0 λ + 3 − 4 − 4 0 8 μ − 5 − 4 ) \qquad A=\left( \begin{matrix} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 3 & \lambda & -1 & 2 \\ 5 & 3 & \mu & 6 \\ \end{matrix} \right) \longrightarrow \left( \begin{matrix} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & \lambda+3 & -4 & -4 \\ 0 & 8 & \mu-5 & -4 \\ \end{matrix} \right) A=⎝⎛135−1λ31−1μ226⎠⎞⟶⎝⎛100−1λ+381−4μ−52−4−4⎠⎞
∵ R ( A ) = 2 ∴ λ + 3 8 = − 4 μ − 5 = − 4 − 4 ∴ λ = 5 , μ = 1 \because R(A)=2 \qquad \therefore \frac{\lambda+3}{8}=\frac{-4}{\mu-5}=\frac{-4}{-4} \qquad \therefore \lambda=5,\mu=1 ∵R(A)=2∴8λ+3=μ−5−4=−4−4∴λ=5,μ=1
满秩矩阵
定义3： A \qquad A A为 n n n阶方阵时，
R ( A ) = n \qquad R(A)=n R(A)=n，称 A A A是满秩阵，（非奇异矩阵）
R ( A ) < n \qquad R(A)<n R(A)<n，称 A A A是降秩阵，（（奇异矩阵）
∴ \therefore \quad ∴ 易知： R ( A ) = n ⟺ ∣ A ∣ ≠ 0 R(A)=n \quad \Longleftrightarrow \quad |A| \neq 0 R(A)=n⟺∣A∣=0
对于满秩方阵 A A A施行初等行变换可以化为单位阵 E E E，又根据初等阵的作用：每对 A A A施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘 A A A，由此得到下面的定理
定理： 设 A A A是满秩矩阵，则存在一系列初等方阵 P 1 , P 2 , ⋯ , P s P_1,P_2,\cdots,P_s P1,P2,⋯,Ps，使得 P s P s − 1 , ⋯ , P 2 P 1 A = E P_sP_{s-1},\cdots,P_2P_1A=E PsPs−1,⋯,P2P1A=E
例7
A = ( 1 2 3 2 1 2 3 1 2 ) — r 2 − 2 r 1 r 3 − 3 r 1 ⟶ ( 1 2 3 0 − 3 − 4 0 − 2 − 3 ) — r 1 + r 3 r 2 − r 3 ⟶ ( 1 0 0 0 − 1 − 1 0 − 2 − 3 ) — ( − r 3 + 2 r 2 ) ⟶ ( 1 0 0 0 − 1 − 1 0 0 1 ) — ( − r 2 − r 3 ) ⟶ ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) = E A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\2 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \\ \end{matrix} \right) —\begin{matrix} {r_2-2r_1} \\ {r_3-3r_1} \end{matrix}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -4 \\ 0 & -2 & -3 \\ \end{matrix} \right) —\begin{matrix} {r_1+r_3} \\ {r_2-r_3} \end{matrix}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & -3 \\ \end{matrix} \right) — \\ \begin{matrix} {(-r_3+2r_2)} \end{matrix}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) —\begin{matrix} {(-r_2-r_3)} \end{matrix}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)=E A=⎝⎛123211322⎠⎞—r2−2r1r3−3r1⟶⎝⎛1002−3−23−4−3⎠⎞—r1+r3r2−r3⟶⎝⎛1000−1−20−1−3⎠⎞—(−r3+2r2)⟶⎝⎛1000−100−11⎠⎞—(−r2−r3)⟶⎝⎛100010001⎠⎞=E
∴ R ( A ) = 3 \therefore \quad R(A)=3 ∴R(A)=3， A A A为满秩方阵。此过程相当于：
E [ ( − 1 ) 2 − 3 ] × E [ ( − 1 ) 3 + ( 2 ) 2 ] × E [ 2 − 3 ] × E [ 1 + 3 ] × E [ 3 − ( 3 ) 1 ] × E [ 2 − ( 2 ) 1 ] × A = E \qquad E[(-1)2-3] \times E[(-1)3+(2)2] \times E[2-3] \times E[1+3] \times E[3-(3)1] \times E[2-(2)1] \times A=E E[(−1)2−3]×E[(−1)3+(2)2]×E[2−3]×E[1+3]×E[3−(3)1]×E[2−(2)1]×A=E
相关性质
- 转置后秩不变
- R ( A ) ≤ min { m , n } R(A) \leq \min\{m,n\} R(A)≤min{
m,n}， A A A是m行n列矩阵 - R ( k A ) = R ( A ) R(kA) = R(A) R(kA)=R(A)， k k k不等于0
- R ( A ) = 0 ⟺ A = 0 R(A)=0 \Longleftrightarrow A=0 R(A)=0⟺A=0
- R ( A + B ) ≤ R ( A ) + R ( B ) R(A+B) \leq R(A)+R(B) R(A+B)≤R(A)+R(B)
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