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极限
极限存在的七种情况为:
1 数列的极限
2 趋近于x0的极限
3 趋近于x0+的极限
4 趋近于x0–的极限
5 趋近于无穷的极限
6 趋近于无穷大的极限
7 趋近于无穷小的极限
δ ε X N M
首先我们来说说这几个符号的意思
δ：表示了x和x0的趋近程度（越小越好）
ε：极限存在的时候表示极限和a的趋近程度（越小越好）
X:用于自变量趋于无穷大的时候使用（越大越好）
N:数列的极限使用（越大越好，表示这一项的以后/xn-a/<ε）(越大越好)
M:表示一个任意大的数字，然后极限比他还大，来表示极限不存在（越大越好）
下面需要注意的是，当x趋于x0的时候，x永远不会等于0。
ε一定是一个给定的正数。
/xn-a/<ε为
a-ε<xn<a+ε (xn和a在数轴上的距离小于ε)
极限存在的定义
limxn(n趋于无穷大)=a的定义;
| ∀ ε>0 | ∃ N∈N+ | 当 n>N时 | /xn-a/<ε |
|---|
limf(x)=a;(x趋于x0)
| ∀ ε>0 | ∃ δ >0 | 当 0</x-x0/<δ 时 | /f(x)-a/<ε |
|---|
limf(x)=a;(x趋于x0+)
| ∀ ε>0 | ∃ δ >0 | 当 x0<x<x0+δ 时 | /f(x)-a/<ε |
|---|
limf(x)=a;(x趋于x0–)
| ∀ ε>0 | ∃ δ >0 | 当 x0-δ<x<x0时 | /f(x)-a/<ε |
|---|
limf(x)=a;(x趋于∞)
| ∀ ε>0 | ∃ X >0 | 当 /x/>X时 | /f(x)-a/<ε |
|---|
imf(x)=a;(x趋于+∞)
| ∀ ε>0 | ∃ X >0 | 当 x>X时 | /f(x)-a/<ε |
|---|
imf(x)=a;(x趋于-∞)
| ∀ ε>0 | ∃ X >0 | 当 x<-X时 | /f(x)-a/<ε |
|---|
极限不存在的定义
limxn(n趋于无穷大)=∞的定义;
| ∀ M>0 | ∃ N∈N+ | 当 n>N时 | /xn/>M |
|---|
limxn(n趋于无穷大)=+∞的定义;
| ∀ M>0 | ∃ N∈N+ | 当 n>N时 | xn>M |
|---|
limxn(n趋于无穷大)=-∞的定义;
| ∀ M>0 | ∃ N∈N+ | 当 n>N时 | xn<-M |
|---|
limf(x)=∞;(x趋于x0)
| ∀ M>0 | ∃ δ >0 | 当 0</x-x0/<δ 时 | /f(x)/>M |
|---|
limf(x)=+∞;(x趋于x0)
| ∀ M>0 | ∃ δ >0 | 当 0</x-x0/<δ 时 | f(x)>M |
|---|
limf(x)=-∞;(x趋于x0)
| ∀ M>0 | ∃ δ >0 | 当 0</x-x0/<δ 时 | f(x)<-M |
|---|
limf(x)=∞;(x趋于x0+)
| ∀ M>0 | ∃ δ >0 | 当 x0<x<x0+δ 时 | /f(x)/>M |
|---|
limf(x)=+∞;(x趋于x0+)
| ∀ M>0 | ∃ δ >0 | 当 x0<x<x0+δ 时 | f(x)>M |
|---|
limf(x)=-∞;(x趋于x0+)
| ∀ M>0 | ∃ δ >0 | 当 x0<x<x0+δ 时 | f(x)<-M |
|---|
limf(x)=∞;(x趋于x0–)
| ∀ M>0 | ∃ δ >0 | 当 x0-δ<x<x0时 | /f(x)/>M |
|---|
limf(x)=+∞;(x趋于x0–)
| ∀ M>0 | ∃ δ >0 | 当 x0-δ<x<x0时 | f(x)>M |
|---|
limf(x)=-∞;(x趋于x0–)
| ∀ M>0 | ∃ δ >0 | 当 x0-δ<x<x0时 | f(x)<-M |
|---|
limf(x)=∞;(x趋于∞)
| ∀ M>0 | ∃ X >0 | 当 /x/>X时 | /f(x)/>M |
|---|
limf(x)=+∞;(x趋于∞)
| ∀ M>0 | ∃ X >0 | 当 /x/>X时 | f(x)>M |
|---|
limf(x)=-∞;(x趋于∞)
| ∀ M>0 | ∃ X >0 | 当 /x/>X时 | f(x)<-M |
|---|
imf(x)=∞;(x趋于+∞)
| ∀ M>0 | ∃ X >0 | 当 x>X时 | /f(x)/>M |
|---|
imf(x)=+∞;(x趋于+∞)
| ∀ M>0 | ∃ X >0 | 当 x>X时 | f(x)>M |
|---|
imf(x)=-∞;(x趋于+∞)
| ∀ M>0 | ∃ X >0 | 当 x>X时 | f(x)<-M |
|---|
imf(x)=∞;(x趋于-∞)
| ∀ M>0 | ∃ X >0 | 当 x<-X时 | /f(x)/>M |
|---|
imf(x)=+∞;(x趋于-∞)
| ∀ M>0 | ∃ X >0 | 当 x<-X时 | f(x)>M |
|---|
imf(x)=-∞;(x趋于-∞)
| ∀ M>0 | ∃ X >0 | 当 x<-X时 | f(x)<-M |
|---|
应用：
极限的唯一性
（证明）
对于为何取（b-a）/2
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