大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。
上期中介绍了两种利用非线性函数拟合人口与物种增长趋势的方法。这两种方法都可以用于对人口与物种增长的总体趋势进行预测，但预测不够精细。我们知道在正常社会条件或自然条件下，生育率与死亡率是与群体的年龄构成息息相关的。我们需要对整个群体按年龄进行层次划分，构建与年龄相联系的人口模型。典型的例子就是Leslie矩阵模型。
Leslie矩阵介绍
我们把整个社会中的人群按年龄等距分成n组，每组中该年的人口总数为 a i , i = 1 , 2 , . . . , n a_i,i=1,2,…,n ai,i=1,2,...,n，每组人口的每年的普遍存活率为 c i , i = 1 , 2 , . . . , n − 1 c_i,i=1,2,…,n-1 ci,i=1,2,...,n−1(设最后一组下一年全部死亡)，每组人口的每年普遍生育率为 b i , i = 1 , 2 , . . . , n b_i,i=1,2,…,n bi,i=1,2,...,n，则下一年每组中的人口总数 a i ′ , i = 1 , 2 , . . . , n a’_i,i=1,2,…,n ai′,i=1,2,...,n就满足递推关系式 { a i ′ = a i − 1 c i − 1 , i = 2 , 3 , . . . , n a 1 ′ = ∑ i = 1 n a i b i \begin{cases}a’_i=a_{i-1}c_{i-1},i=2,3,…,n\\a’_1=\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\end{cases} {
ai′=ai−1ci−1,i=2,3,...,na1′=∑i=1naibi
该式可写成矩阵乘向量的形式：
a ′ ⃗ = ( b 1 b 2 . . . b n − 1 b n c 1 0 . . . 0 0 0 c 2 . . . 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 . . . c n − 1 0 ) ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) T \vec{a’}= \left( \begin{matrix} b_1&b_2&…&b_{n-1}&b_n\\ c_1&0&…&0&0\\ 0&c_2&…&0&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&…&c_{n-1}&0 \end{matrix} \right) (a_1,a_2,…,a_n)^T a′=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛b1c10⋮0b20c2⋮0............bn−100⋮cn−1bn000⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞(a1,a2,...,an)T
该式中左边的矩阵就是Leslie矩阵。
Leslie矩阵性质
- Leslie矩阵有唯一的单重正特征值 λ 1 \lambda_1 λ1，对应的特征向量 x ⃗ 1 = ( 1 , b 1 / λ 1 , c 1 c 2 / λ 1 2 , . . . , c 1 c 2 . . . c n − 1 / λ 1 n − 1 ) T \vec x_1=(1,b_1/\lambda_1,c_1c_2/\lambda_1^2,…,c_1c_2…c_{n-1}/\lambda_1^{n-1})^T x1=(1,b1/λ1,c1c2/λ12,...,c1c2...cn−1/λ1n−1)T
证明：设n阶的该矩阵为Ln，n阶的特征多项式为Pn，则有
P n = ∣ λ I − L n ∣ = ∣ λ − b 1 − b 2 . . . − b n − 1 − b n − c 1 λ . . . 0 0 0 − c 2 . . . 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 . . . − c n − 1 λ ∣ P_n=|\lambda I-L_n|= \left| \begin{matrix} \lambda-b_1&-b_2&…&-b_{n-1}&-b_n\\ -c_1&\lambda&…&0&0\\ 0&-c_2&…&0&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots&&\\ 0&0&…&-c_{n-1}&\lambda \end{matrix} \right| Pn=∣λI−Ln∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣λ−b1−c10⋮0−b2λ−c2⋮0............−bn−100⋮−cn−1−bn00λ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= > P n = λ ∣ λ − b 1 − b 2 . . . − b n − 2 − b n − 1 − c 1 λ . . . 0 0 0 − c 2 . . . 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 . . . − c n − 2 λ ∣ + c n − 1 ∣ λ − b 1 − b 2 . . . − b n − 3 − b n − 1 − c 1 λ . . . 0 0 0 − c 2 . . . 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 . . . − c n − 2 0 ∣ =>P_n=\lambda \left| \begin{matrix} \lambda-b_1&-b_2&…&-b_{n-2}&-b_{n-1}\\ -c_1&\lambda&…&0&0\\ 0&-c_2&…&0&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots&&\\ 0&0&…&-c_{n-2}&\lambda \end{matrix} \right|+c_{n-1} \left| \begin{matrix} \lambda-b_1&-b_2&…&-b_{n-3}&-b_{n-1}\\ -c_1&\lambda&…&0&0\\ 0&-c_2&…&0&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots&&\\ 0&0&…&-c_{n-2}&0 \end{matrix} \right| =>Pn=λ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣λ−b1−c10⋮0−b2λ−c2⋮0............−bn−200⋮−cn−2−bn−100λ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+cn−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣λ−b1−c10⋮0−b2λ−c2⋮0............−bn−300⋮−cn−2−bn−1000∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= > P n = λ P n − 1 + c n − 1 ( − b n − 1 ) ( c 1 c 2 . . . c n − 2 ) ( − 1 ) n − 2 ( − 1 ) n − 2 = > P n = λ P n − 1 − b n − 1 c 1 c 2 . . . c n − 1 =>P_n=\lambda P_{n-1}+c_{n-1}(-b_{n-1})(c_1c_2…c_{n-2})(-1)^{n-2}(-1)^{n-2}=> P_n=\lambda P_{n-1}-b_{n-1}c_1c_2…c_{n-1} =>Pn=λPn−1+cn−1(−bn−1)(c1c2...cn−2)(−1)n−2(−1)n−2=>Pn=λPn−1−bn−1c1c2...cn−1
= > P n = λ P n − 1 − β n − 1 = > P n = λ n − β 1 λ n − 1 − β 2 λ n − 2 − . . . − β n = > =>P_n=\lambda P_{n-1}-\beta_{n-1}=> P_n=\lambda^n-\beta_1\lambda^{n-1}-\beta_2\lambda^{n-2}-…-\beta_n=> =>Pn=λPn−1−βn−1=>Pn=λn−β1λn−1−β2λn−2−...−βn=>
0 = λ n − β 1 λ n − 1 − β 2 λ n − 2 − . . . − β n = > P n = λ n − β 1 λ n − 1 − β 2 λ n − 2 − . . . − β n = > 0=\lambda^n-\beta_1\lambda^{n-1}-\beta_2\lambda^{n-2}-…-\beta_n=>P_n=\lambda^n-\beta_1\lambda^{n-1}-\beta_2\lambda^{n-2}-…-\beta_n=> 0=λn−β1λn−1−β2λn−2−...−βn=>Pn=λn−β1λn−1−β2λn−2−...−βn=>
1 = β 1 λ − 1 + β 2 λ − 2 + . . . + β n λ − n 1=\beta_1\lambda^{-1}+\beta_2\lambda^{-2}+…+\beta_n\lambda^{-n} 1=β1λ−1+β2λ−2+...+βnλ−n右边的函数是单调连续减函数，且 λ \lambda λ无穷大时趋近0、 λ \lambda λ趋近于0时趋近正无穷，所以有唯一正特征根 λ 1 \lambda_1 λ1，对应的特征向量为 x ⃗ 1 = ( 1 , b 1 / λ 1 , c 1 c 2 / λ 1 2 , . . . , c 1 c 2 . . . c n − 1 / λ 1 n − 1 ) T \vec x_1=(1,b_1/\lambda_1,c_1c_2/\lambda_1^2,…,c_1c_2…c_{n-1}/\lambda_1^{n-1})^T x1=(1,b1/λ1,c1c2/λ12,...,c1c2...cn−1/λ1n−1)T
- 所有负的特征值都满足 ∣ λ ∣ < λ 1 |\lambda|<\lambda_1 ∣λ∣<λ1，称 λ 1 \lambda_1 λ1为严格优势特征值
证明:设有特征值满足 ∣ λ ∣ ≥ λ 1 = > λ ≥ − λ 1 |\lambda|\geq\lambda_1=>\lambda\geq-\lambda_1 ∣λ∣≥λ1=>λ≥−λ1，则有其依然满足 1 = β 1 λ − 1 + β 2 λ − 2 + . . . + β n λ − n 1=\beta_1\lambda^{-1}+\beta_2\lambda^{-2}+…+\beta_n\lambda^{-n} 1=β1λ−1+β2λ−2+...+βnλ−n ，而 1 = β 1 λ 1 − 1 + β 2 λ 1 − 2 + . . . + β n λ 1 − n ≥ β ∣ λ − 1 ∣ + β ∣ λ − 2 ∣ + . . . + β ∣ λ − n ∣ > β λ − 1 + β λ − 2 + . . . + β λ − n 1=\beta_1\lambda_1^{-1}+\beta_2\lambda_1^{-2}+…+\beta_n\lambda_1^{-n} \geq\beta|\lambda^{-1}|+\beta|\lambda^{-2}|+…+\beta|\lambda^{-n}|>\beta\lambda^{-1}+\beta\lambda^{-2}+…+\beta\lambda^{-n} 1=β1λ1−1+β2λ1−2+...+βnλ1−n≥β∣λ−1∣+β∣λ−2∣+...+β∣λ−n∣>βλ−1+βλ−2+...+βλ−n，矛盾
- 对于任意人口分布向量 x ⃗ \vec x x，其迭代k次后的结果有 lim k − > + ∞ x ⃗ ( k ) λ 1 k = c x ⃗ 1 \displaystyle \lim_{k->+∞} \frac{\vec x^{(k)}}{\lambda_1^k}=c\vec x_1 k−>+∞limλ1kx(k)=cx1(c为常数)，即迭代了无穷多次时，人口的分布比例趋近于特征向量 x ⃗ 1 \vec x_1 x1，而人口增长率趋近于特征值 λ 1 \lambda_1 λ1
证明：仅对可化为对角阵的情况进行证明（一般情况需要用到约旦标准型）。 lim k − > + ∞ x ⃗ ( k ) λ 1 k = lim k − > + ∞ L k x ⃗ ( 0 ) λ 1 k = lim k − > + ∞ ( P d i a g ( λ 1 , λ 2 , . . . , λ n ) P − 1 ) k x ⃗ ( 0 ) λ 1 k = lim k − > + ∞ P d i a g ( λ 1 k , λ 2 k , . . . , λ n k ) P − 1 x ⃗ ( 0 ) λ 1 k = lim k − > + ∞ P d i a g ( 1 , λ 2 k / λ 1 k , . . . , λ n k / λ 1 k ) P − 1 x ⃗ ( 0 ) \displaystyle \lim_{k->+∞} \frac{\vec x^{(k)}}{\lambda_1^k}=\displaystyle \lim_{k->+∞} \frac{L^k\vec x^{(0)}}{\lambda_1^k}=\displaystyle \lim_{k->+∞} \frac{(Pdiag(\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n)P^{-1})^k\vec x^{(0)}}{\lambda_1^k}=\displaystyle \lim_{k->+∞} \frac{Pdiag(\lambda_1^k,\lambda_2^k,…,\lambda_n^k)P^{-1}\vec x^{(0)}}{\lambda_1^k}=\displaystyle \lim_{k->+∞} Pdiag(1,\lambda_2^k/\lambda_1^k,…,\lambda_n^k/\lambda_1^k)P^{-1}\vec x^{(0)} k−>+∞limλ1kx(k)=k−>+∞limλ1kLkx(0)=k−>+∞limλ1k(Pdiag(λ1,λ2,...,λn)P−1)kx(0)=k−>+∞limλ1kPdiag(λ1k,λ2k,...,λnk)P−1x(0)=k−>+∞limPdiag(1,λ2k/λ1k,...,λnk/λ1k)P−1x(0)，由于 λ 1 \lambda_1 λ1为严格优势特征值，有 原 式 = lim k − > + ∞ P d i a g ( 1 , 0 , . . . , 0 ) P − 1 x ⃗ ( 0 ) = ( x ⃗ 1 , x ⃗ 2 , . . . , x ⃗ n ) d i a g ( 1 , 0 , . . . , 0 ) ( x ⃗ 1 ′ , x ⃗ 2 ′ , . . . , x ⃗ n ′ ) ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) T = c x ⃗ 1 原式=\displaystyle \lim_{k->+∞} Pdiag(1,0,…,0)P^{-1}\vec x^{(0)}=(\vec x_1,\vec x_2,…,\vec x_n)diag(1,0,…,0)(\vec x’_1,\vec x’_2,…,\vec x’_n)(a_1,a_2,…,a_n)^T=c\vec x_1 原式=k−>+∞limPdiag(1,0,...,0)P−1x(0)=(x1,x2,...,xn)diag(1,0,...,0)(x1′,x2′,...,xn′)(a1,a2,...,an)T=cx1
总结
列出Leslie矩阵，我们即可对人口年龄分布进行迭代。且无论一开始的人口分布向量如何，人口比例在迭代无数次之后总趋近于特征向量 x ⃗ 1 \vec x_1 x1。而人口增长率趋近于特征值 λ 1 \lambda_1 λ1，说明特征值 λ 1 \lambda_1 λ1可以用于预测人口增长速度，对于计生有重要意义。
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