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最大期望算法（Expectation-maximization algorithm，又译为期望最大化算法），是在概率模型中寻找参数最大似然估计或者最大后验估计的算法，其中概率模型依赖于无法观测的隐性变量。

最大期望算法经过两个步骤交替进行计算：

第一步是计算期望（E），利用对隐藏变量的现有估计值，计算其最大似然估计值；

第二步是最大化（M），最大化在E步上求得的最大似然值来计算参数的值。M步上找到的参数估计值被用于下一个E步计算中，这个过程不断交替进行。

一样例

举个例子，抛硬币，有两个硬币，但是两个硬币的材质不同导致其出现正反面的概率不一样，目前我们只有一组观测数据，要求出每一种硬币投掷时正面向上的概率。总共投了五轮，每轮投掷五次，现在先考虑一种简单的情况，假设我们知道这每一轮用的是哪一个硬币去投掷的：

【机器学习基础】EM算法

那么我们拿着这样的一组数据，就可以很轻松的估计出A硬币和B硬币出现正面的概率，如下：

PA = （3+1+2）/ 15 = 0.4

PB= （2+3）/10 = 0.5

现在把问题变得复杂一点，假设我们不知道每一次投掷用的是哪一种硬币，等于是现在的问题加上了一个隐变量，就是每一次选取的硬币的种类。

【机器学习基础】EM算法

那么现在可以想一想，假设我们把每一次硬币的种类设为z,则这五次实验生成了一个5维的向量(z1,z2,z3,z4,z5)，现在问题来了，如果我们要根据观测结果去求出PA,PB，那么首先需要知道z，但是如果用最大似然估计去估计z，又要先求出PA,PB。这就产生了一个循环。那么这个时候EM算法的作用就体现出来了，EM算法的基本思想是：先初始化一个PA,PB，然后我们拿着这个初始化的PA,PB用最大似然概率估计出z，接下来有了z之后就用z去计算出在当前z的情况下的PA,PB是多少，然后不断地重复这两个步骤直到收敛。

有了这个思想之后现在用这个思想来做一下这个例子，假设初始状态下PA=0.2, PB=0.7，然后我们根据这个概率去估计出z：

【机器学习基础】EM算法

按照最大似然估计，z=(B,A,A,B,A)，有了z之后我们反过来重新估计一下PA,PB：

PA = （2+1+2）/15 = 0.33

PB =（3+3）/10 = 0.6

可以看到PA,PB的值已经更新了，假设PA,PB的真实值0.4和0.5，那么你在不断地重复这两步你就会发现PA,PB在不断地靠近这两个真实值。

二公式描述

假设目标函数表示为：

$L(\theta)=\prod_{j=1}^{N}P_\theta(y_i)$

其中 $\theta$ 为概率分布 $P_\theta(y)$ 的参数，在没有隐变量的情况下，我们求解L的最大值的套路是先对L取对数，将连乘的形式转换成累加的形式，然后就可以对未知数 $\theta$ 进行求导，只需要求得导数为0的位置未知量的值即为目标函数的极大值。但是，如果概率分布中有隐变量存在时，我们用全概率公式把隐变量在上式中体现出来：

全概率公式：

$P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)$

其中A需是一组完备事件组且都有正概率，则对任意B上式都成立。

$L(\theta)=\prod_{j=1}^{N}\sum_{z}P_\theta(z)P_\theta(y_i|z)$

两边同时取对数ln:

$lnL(\theta)=\sum_{j=1}^{N}ln\sum_{z}P_\theta(z)P_\theta(y_i|z)$

从上式中可以看出，如果要按照之前的套路，那就需要对上式进行求偏导，但是由于ln中还包含了求和项，在偏导数中的形式将会非常复杂，而且很难求得解析解。因此需要找到一种办法去求得解析解的近似解，这里就引入了EM算法。为了表述的方便性，在这里用 $l(\theta)$ 代表 $lnL(\theta)$ ，则：

$l(\theta)=\sum_{j=1}^{N}ln\sum_{z}P_\theta(z)P_\theta(y_i|z)$

对于求解近似解，EM算法采用的是迭代的方式不断地逼近真实值，假设第n次迭代的参数值为 $\theta_n$ ，第n+1次迭代的参数值为 $\theta_{n+1}$ ，那么其实只要满足【机器学习基础】EM算法 $\theta_n$ 目前是作为已知的值，那么来看一看 $l(\theta)-l(\theta_n)$

$l(\theta)-l(\theta_n)=\sum_{j=1}^{N}ln\sum_{Z}P_\theta(y_j|z)P_\theta(z)-\sum_{j=1}^{N}ln\sum_{Z}P_{\theta_n}(y_j|z)P_{\theta_n}(z)$

由于这里 $\theta_n$ 是作为常数的，因此右式中的第二项可以不用将隐变量体现出，化简如下：

$=\sum_{j=1}^{N}ln\sum_{Z}P_\theta(y_j|z)P_\theta(z)-\sum_{j=1}^{N}lnP_{\theta_n}(y_j)$

$=\sum_{j=1}^{N}\left [ ln\sum_{Z}P_\theta(y_j|z)P_\theta(z)-lnP_{\theta_n}(y_j)\right ]$

上式中，其实只需要关注求和里面的项就好了，做一个标注，记 $ln\sum_{Z}P_\theta(y_j|z)P_\theta(z)$ 为I项，记为 $lnP_{\theta_n}(y_j)$ II项，接下来分别对这两项进行化简：

I项：

$ln\sum_{Z}P_\theta(y_j|z)P_\theta(z)=ln\sum_{Z}P_\theta(y_j|z)\frac{P_{\theta_n}(z|y_j)P_\theta(z)}{P_{\theta_n}(z|y_j)}$

上式中的变换是因为 $\sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y)=1$

接下来还会用到Jensen不等式，Jensen不等式是这么描述的：

假设f(x)为凸函数，X是随机变量，那么：E[f(X)]>=f(E[X])，通俗的说法是函数的期望大于等于期望的函数。

特别地，如果f是严格凸函数，当且仅当 $P\left( X=EX \right) =1$ ，即是常量时，上式取等号，即 $E\left[ f\left( X \right) \right] =f\left( EX \right)$ ，如下图所示：

再观察一下I项，感觉有一些像能够用Jensen不等式进行再一次的化简，下面写的直观一点：

$=ln\sum_{Z}P_\theta(y_j|z)\frac{P_{\theta_n}(z|y_j)P_\theta(z)}{P_{\theta_n}(z|y_j)}=ln\sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j)\frac{P_\theta(y_j|z)P_\theta(z)}{P_{\theta_n}(z|y_j)}$

把 $P_{\theta_n}(y_j)$ 当成X，那么上式 $\sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j)\frac{P_\theta(y_j|z)P_\theta(z)}{P_{\theta_n}(z|y_j)}$ 就是EX，又因为ln函数是凹函数，所以根据Jensen不等式有f(E[X])>=E[f(X)]，则

$ln\sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j)\frac{P_\theta(y_j|z)P_\theta(z)}{P_{\theta_n}(z|y_j)}\geqslant \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j)ln\frac{P_{\theta}(y_j|z)P_\theta(z)}{P_{\theta_n}(z|y_j)}$

II项：

$lnP_{\theta_n}(y_j)=\left [ lnP_{\theta_n}(y_j) \right ]\cdot \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j)$

$= \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) lnP_{\theta_n}(y_j)$

然后再把I-II合并起来看一下：

$I-II\geqslant \sum_{j=1}^{N}\left [ \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j)ln\frac{P_{\theta}(y_j|z)P_\theta(z)}{P_{\theta_n}(z|y_j)}-\sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) lnP_{\theta_n}(y_j) \right]$

$=\sum_{j=1}^{N} \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) \left[ ln\frac{P_{\theta}(y_j|z)P_\theta(z)}{P_{\theta_n}(z|y_j)}-lnP_{\theta_n}(y_j) \right ]$

$=\sum_{j=1}^{N} \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) \left[ ln\frac{P_{\theta}(y_j|z)P_\theta(z)}{P_{\theta_n}(z|y_j)P_{\theta_n}(y_j)} \right ]$

$=\sum_{j=1}^{N} \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) \left[ ln\frac{P_{\theta}(y_j,z)}{P_{\theta_n}(z,y_j)} \right ]$

将上式代回 $l(\theta)-l(\theta_n)$ ，

$l(\theta)-l(\theta_n)\geqslant \sum_{j=1}^{N} \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) \left[ ln\frac{P_{\theta}(y_j,z)}{P_{\theta_n}(z,y_j)} \right ]$

$l(\theta)\geqslant \sum_{j=1}^{N}\sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) \left[ ln\frac{P_{\theta}(y_j,z)}{P_{\theta_n}(z,y_j)} \right ]+l(\theta_n)$

将右边的这一大串记为 $Q(\theta|\theta_n)$ ，称为下边界函数，EM算法的目的是要取得目标函数的极大值，那么可以通过不断地提升下边界函数值来不断地提升目标函数的值，接下来，再看一下 $Q(\theta|\theta_n)$ ，将其化简为便于优化迭代的形式：

$Q(\theta|\theta_n)=l(\theta_n)+ \sum_{j=1}^{N} \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) \left[ ln\frac{P_{\theta}(y_j,z)}{P_{\theta_n}(z,y_j)} \right ]$

可以看到在等式的右边，由于我们之前的假设是 $\theta_n$ 是已知的，那么把已知量和未知量分开：

$= \sum_{j=1}^{N} \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) lnP_{\theta}(y_j,z)+l(\theta_n) -\sum_{j=1}^{N} \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) lnP_{\theta_n}(z,y_j)$

上式中，等号右边的第一项中带未知项，第二项和第三项都是常数，所以接下来的过程就简单了，我们只要对这个式子求偏导 $\frac{\partial Q(\theta|\theta_n)}{\partial \theta}=0$ ，求得此时取极大值时 $\theta$ 的取值，这个值就是进入到下一步迭代是的概率分布参数值 $\theta_{n+1}$ ，有了 $\theta_{n+1}$ 之后就可以获得 $Q(\theta|\theta_{n+1})$ ，然后不断地迭代直到收敛。图示的话如下：

【机器学习基础】EM算法