大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。
在word2vec中，为了简化训练的过程，经常会用到Negative Sampling负采样这个技巧，这个负采样到底是怎么样的呢？之前在我的博文 word2vec算法理解和数学推导 中对于word2vec有了很详细的数学推导，这里主要讲解一下负采样是如何降低word2vec的复杂度的。
首先我们直接写出word2vec的目标函数，假设有一句话： q u e r y = w 1 , w 2 , w 3 , . . , w n query = {w_1},{w_2},{w_3},..,{w_n} query=w1,w2,w3,..,wn，由n个词组成的一句话，我们需要最大化窗口中上下文词的概率：
arg max θ ∏ w ∈ q u e r y ∏ c ∈ c ( w ) P ( c ∣ w ; θ ) \arg \mathop {\max }\limits_\theta \prod\limits_{w \in query} {\prod\limits_{c \in c(w)} {P(c|w;\theta )} } argθmaxw∈query∏c∈c(w)∏P(c∣w;θ)
这里的 c ( w ) c(w) c(w)表示中心词的context words，我们在计算的时候，可以把相乘的元素转换成对数函数：
arg max θ ∑ w ∈ q u e r y ∑ c ∈ c ( w ) log P ( c ∣ w ; θ ) \arg \mathop {\max }\limits_\theta \sum\limits_{w \in query} {\sum\limits_{c \in c(w)} {\log P(c|w;\theta )} } argθmaxw∈query∑c∈c(w)∑logP(c∣w;θ)
我们把概率函数可以进行展开就可以得到：
arg max θ ∑ w ∈ q u e r y ∑ c ∈ c ( w ) log e u c ⋅ v w ∑ c ′ ∈ v o c a b e u c ′ ⋅ v w \arg \mathop {\max }\limits_\theta \sum\limits_{w \in query} {\sum\limits_{c \in c(w)} {\log \frac{
{
{e^{
{u_c} \cdot {v_w}}}}}{
{\sum\limits_{c’ \in vocab} {
{e^{
{u_{c’}} \cdot {v_w}}}} }}} } argθmaxw∈query∑c∈c(w)∑logc′∈vocab∑euc′⋅vweuc⋅vw
这个式子可以表示成：
arg max θ ∑ w ∈ q u e r y ∑ c ∈ c ( w ) ( e u c ⋅ v w − log ∑ c ′ ∈ v o c a b e u c ′ ⋅ v w ) \arg \mathop {\max }\limits_\theta \sum\limits_{w \in query} {\sum\limits_{c \in c(w)} {({e^{
{u_c} \cdot {v_w}}} – \log \sum\limits_{c’ \in vocab} {
{e^{
{u_{c’}} \cdot {v_w}}}} )} } argθmaxw∈query∑c∈c(w)∑(euc⋅vw−logc′∈vocab∑euc′⋅vw)
我们可以看到这个式子第二项，因为 c ′ c’ c′要遍历整个词库，所以复杂度非常高，所以我们要简化这一步的计算，减小运算的复杂度。这里的 u c u_c uc表示 c c c的上下文向量， v w v_w vw表示中心词 w w w的向量。
为了减小上述表达式的复杂度，我们不妨改变一下上述概率的表达方式，原来的 p ( w i ∣ w j ) p({w_i}|{w_j}) p(wi∣wj) 表示以 w j w_j wj 为中心词的时候 w i w_i wi 出现的概率，这里我们用 p ( D = 1 ∣ w i , w j ; θ ) p(D = 1|{w_i},{w_j};\theta ) p(D=1∣wi,wj;θ) 表示 w i w_i wi 和 w j w_j wj 作为上下文词出现的概率， p ( D = 0 ∣ w i , w j ; θ ) p(D = 0|{w_i},{w_j};\theta ) p(D=0∣wi,wj;θ) 表示 w i w_i wi 和 w j w_j wj 不作为上下文词出现的概率。
由上述新的表达式可以写出新的目标函数：
arg max θ ∏ ( w , c ) ∈ D p ( D = 1 ∣ w , c ; θ ) ∏ ( w , c ) ∈ D ~ p ( D = 0 ∣ w , c ; θ ) \arg \mathop {\max }\limits_\theta \prod\limits_{(w,c) \in D} {p(D = 1|w,c;\theta )\prod\limits_{(w,c) \in \tilde D} {p(D = 0|w,c;\theta )} } argθmax(w,c)∈D∏p(D=1∣w,c;θ)(w,c)∈D~∏p(D=0∣w,c;θ)
这里的 D D D 表示上下文词的集合， D ~ \tilde D D~ 表示非上下文的集合，我们来举一个例子，这里有一句话：“川建国同志是一名优秀的党员”，这句话分词去停之后变成： 川建国 同志 一名 优秀 党员。那么 D D D 表示上下文集合，我们假设 window size为1，那么可以写出：
D D D = {(川建国，同志)，(同志，川建国)，(同志，一名)，(一名，同志)，(一名，优秀)，(优秀，一名)，(优秀，党员)}
D ~ \tilde D D~ = {(川建国，一名)，(川建国，优秀)，(川建国，党员)，(同志，优秀)，(同志，党员)，(一名，川建国)，(一名，党员)，(优秀，川建国)，(优秀，同志)，(党员，川建国)，(党员，同志)，(党员，一名)}。
上述的 D D D 表示正样本， D ~ \tilde D D~ 表示负样本。我们可以继续表示上述的目标函数，我们可以吧正负样本的概率表示成sigmoid的表达形式：
arg max θ ∏ ( w , c ) ∈ D 1 1 + e − u c ⋅ v w ∏ ( w , c ) ∈ D ~ ( 1 − 1 1 + e − u c ⋅ v w ) = arg max θ ∑ ( w , c ) ∈ D log σ ( u c ⋅ v w ) + ∑ ( w , c ) ∈ D ~ log σ ( − u c ⋅ v w ) \arg \mathop {\max }\limits_\theta \prod\limits_{(w,c) \in D} {\frac{1}{
{1 + {e^{ – {u_c} \cdot {v_w}}}}}\prod\limits_{(w,c) \in \tilde D} {(1 – \frac{1}{
{1 + {e^{ – {u_c} \cdot {v_w}}}}})} } = \arg \mathop {\max }\limits_\theta \sum\limits_{(w,c) \in D} {\log \sigma ({u_c} \cdot {v_w})} + \sum\limits_{(w,c) \in \tilde D} {\log \sigma ( – {u_c} \cdot {v_w})} argθmax(w,c)∈D∏1+e−uc⋅vw1(w,c)∈D~∏(1−1+e−uc⋅vw1)=argθmax(w,c)∈D∑logσ(uc⋅vw)+(w,c)∈D~∑logσ(−uc⋅vw)
在词库数量级为 1 0 5 10^5 105的时候，正样本加负样本 D ~ \tilde D D~的数量级可以达到 1 0 10 10^{10} 1010左右，里面绝大部分都是负样本，所以我们需要降低负样本计算中的时间复杂度，这就是Negative Sampling 负采样的核心。负采样就是对于一个中心词，我们从中心词对应的负样本中随机抽取几组来做梯度下降。还是川建国的例子，对于正样本（川建国，同志），我们随机抽取负样本（川建国，一名），（川建国，党员）来做训练，不用全部的负样本都拿来训练，这就是负采样，减小了计算的复杂度。所以，上述的目标函数可以写成：
≈ arg max θ ∑ ( w , c ) ∈ D [ log σ ( u c ⋅ v w ) + ∑ c ′ ∈ N ( w ) log σ ( − u c ′ ⋅ v w ) ] \approx \arg \mathop {\max }\limits_\theta \sum\limits_{(w,c) \in D} {[\log \sigma ({u_c} \cdot {v_w}) + \sum\limits_{c’ \in N(w)} {\log \sigma ( – {u_{c’}} \cdot {v_w})} ]} ≈argθmax(w,c)∈D∑[logσ(uc⋅vw)+c′∈N(w)∑logσ(−uc′⋅vw)]
从上述表达式可以看出，负样本我们不需要取所有的都拿来训练，我们只需要每个中心词抽几个负样本就可以了，这样可以大大降低计算的复杂度。这就是word2vec训练过程中的Negative Sampling 负采样技巧，可以大大减小梯度下降的时间复杂度，这就有点像SGD随机梯度下降，就是随机一个样本进行梯度下降，大体的方向还是朝着最低点下降。
接着我来解答一下上述这个表达式，一起来看看是如何进行梯度下降的，首先我们假设：
L ( θ ) = log σ ( u c ⋅ v w ) + ∑ c ′ ∈ N ( w ) log σ ( − u c ′ ⋅ v w ) L(\theta ) = \log \sigma ({u_c} \cdot {v_w}) + \sum\limits_{c’ \in N(w)} {\log \sigma ( – {u_{c’}} \cdot {v_w})} L(θ)=logσ(uc⋅vw)+c′∈N(w)∑logσ(−uc′⋅vw)
接下来我们需要对该表达式求偏导：
∂ L ( θ ) ∂ u c = σ ( u c ⋅ v w ) [ 1 − σ ( u c ⋅ v w ) ] ⋅ v w σ ( u c ⋅ v w ) = [ 1 − σ ( u c ⋅ v w ) ] ⋅ v w \frac{
{\partial L(\theta )}}{
{\partial {u_c}}} = \frac{
{\sigma ({u_c} \cdot {v_w})[1 – \sigma ({u_c} \cdot {v_w})] \cdot {v_w}}}{
{\sigma ({u_c} \cdot {v_w})}} = [1 – \sigma ({u_c} \cdot {v_w})] \cdot {v_w} ∂uc∂L(θ)=σ(uc⋅vw)σ(uc⋅vw)[1−σ(uc⋅vw)]⋅vw=[1−σ(uc⋅vw)]⋅vw
∂ L ( θ ) ∂ u c ′ = σ ( − u c ′ ⋅ v w ) [ 1 − σ ( − u c ′ ⋅ v w ) ] ⋅ ( − v w ) σ ( − u c ′ ⋅ v w ) = [ σ ( u c ′ ⋅ v w ) − 1 ] ⋅ v w \frac{
{\partial L(\theta )}}{
{\partial {u_{c’}}}} = \frac{
{\sigma ( – {u_{c’}} \cdot {v_w})[1 – \sigma ( – {u_{c’}} \cdot {v_w})] \cdot ( – {v_w})}}{
{\sigma ( – {u_{c’}} \cdot {v_w})}} = [\sigma ({u_{c’}} \cdot {v_w}) – 1] \cdot {v_w} ∂uc′∂L(θ)=σ(−uc′⋅vw)σ(−uc′⋅vw)[1−σ(−uc′⋅vw)]⋅(−vw)=[σ(uc′⋅vw)−1]⋅vw
∂ L ( θ ) ∂ v w = σ ( u c ⋅ v w ) [ 1 − σ ( u c ⋅ v w ) ] ⋅ u c σ ( u c ⋅ v w ) + ∑ c ′ ∈ N ( w ) ∂ ( − u c ′ ⋅ v w ) [ 1 − σ ( − u c ′ ⋅ v w ) ] ⋅ ( − u c ′ ) ∂ ( − u c ′ ⋅ v w ) = [ 1 − σ ( u c ⋅ v w ) ] ⋅ u c + ∑ c ′ ∈ N ( w ) [ σ ( − u c ′ ⋅ v w ) − 1 ] ⋅ u c ′ \frac{
{\partial L(\theta )}}{
{\partial {v_w}}} = \frac{
{\sigma ({u_c} \cdot {v_w})[1 – \sigma ({u_c} \cdot {v_w})] \cdot {u_c}}}{
{\sigma ({u_c} \cdot {v_w})}} + \sum\limits_{c’ \in N(w)} {\frac{
{\partial ( – {u_{c’}} \cdot {v_w})[1 – \sigma ( – {u_{c’}} \cdot {v_w})] \cdot ( – {u_{c’}})}}{
{\partial ( – {u_{c’}} \cdot {v_w})}} = [1 – \sigma ({u_c} \cdot {v_w})] \cdot {u_c} + \sum\limits_{c’ \in N(w)} {[\sigma ( – {u_{c’}} \cdot {v_w}) – 1] \cdot {u_{c’}}} } ∂vw∂L(θ)=σ(uc⋅vw)σ(uc⋅vw)[1−σ(uc⋅vw)]⋅uc+c′∈N(w)∑∂(−uc′⋅vw)∂(−uc′⋅vw)[1−σ(−uc′⋅vw)]⋅(−uc′)=[1−σ(uc⋅vw)]⋅uc+c′∈N(w)∑[σ(−uc′⋅vw)−1]⋅uc′
然后整体的梯度下降可以表示成：
u c : = u c + η ∂ L ( θ ) ∂ u c {u_c}: = {u_c} + \eta \frac{
{\partial L(\theta )}}{
{\partial {u_c}}} uc:=uc+η∂uc∂L(θ)
u c ′ : = u c ′ + η ∂ L ( θ ) ∂ u c ′ {u_{c’}}: = {u_{c’}} + \eta \frac{
{\partial L(\theta )}}{
{\partial {u_{c’}}}} uc′:=uc′+η∂uc′∂L(θ)
v w : = v w + η ∂ L ( θ ) ∂ v w {v_w}: = {v_w} + \eta \frac{
{\partial L(\theta )}}{
{\partial {v_w}}} vw:=vw+η∂vw∂L(θ)
这就是word2vec训练过程中的负采样技巧，希望可以通过细致的讲解能够帮助大家深刻地理解负采样，码字不易，如有转载请注明出处，文中如有纰漏，也请各位读者不吝指教，谢谢。
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