OpenCV实现SfM（一）：相机模型

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

注意：本文中的代码必须使用OpenCV3.0或以上版本进行编译，因为很多函数是3.0以后才加入的。

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#SfM介绍

SfM的全称为Structure from Motion，即通过相机的移动来确定目标的空间和几何关系，是三维重建的一种常见方法。它与Kinect这种3D摄像头最大的不同在于，它只需要普通的RGB摄像头即可，因此成本更低廉，且受环境约束较小，在室内和室外均能使用。但是，SfM背后需要复杂的理论和算法做支持，在精度和速度上都还有待提高，所以目前成熟的商业应用并不多。

本系列介绍SfM中的基本原理与算法，借助OpenCV实现一个简易的SfM系统。

#小孔相机模型
在计算机视觉中，最常用的相机模型就是小孔模型（小孔成像模型），它将相机的透镜组简化为一个小孔，光线透过小孔在小孔后方的像面上成像，如下图所示。
这里写图片描述
由上图可知，小孔模型成的是倒像，为了表述与研究的方便，我们常常将像面至于小孔之前，且到小孔的距离仍然是焦距f，这样的模型与原来的小孔模型是等价的，只不过成的是正像，符合人的直观感受。在这种情况下，往往将小孔称作光心（Optical Center）。
这里写图片描述
小孔模型是一种理想相机模型，没有考虑实际相机中存在的场曲、畸变等问题。在实际使用时，这些问题可以通过在标定的过程中引入畸变参数解决，所以小孔模型仍然是目前最广泛使用的相机模型。

#坐标系
为了用数学研究SfM，我们需要坐标系。在SfM中主要有两类坐标系，一类为相机坐标系，一类为世界坐标系。在本系列中，所以坐标系均为右手坐标系。
相机坐标系以相机的光心（小孔）作为原点，X轴为水平方向，Y轴为竖直方向，Z轴指向相机所观察的方向。
世界坐标系的原点可以任意选择，与相机的具体位置无关。
相机坐标系与世界坐标系的关系

#内参矩阵
设空间中有一点P，若世界坐标系与相机坐标系重合，则该点在空间中的坐标为(X, Y, Z)，其中Z为该点到相机光心的垂直距离。设该点在像面上的像为点p，像素坐标为(x, y)，那么(X, Y, Z)和(x, y)有什么关系呢？
这里写图片描述
由上图可知，这是一个简单的相似三角形关系，从而得到
$\frac{fX}{Z},\ \ \ y = \frac{fY}{Z}$
但是，图像的像素坐标系原点在左上角，而上面公式假定原点在图像中心，为了处理这一偏移，设光心在图像上对应的像素坐标为 $c_x, c_y)$ ，则
$\frac{fX}{Z} + c_x,\ \ \ y =\frac{fY}{Z} + c_y$
将以上关系表示为矩阵形式，有
$Z\left[\begin{matrix} x\\y\\1 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} f & 0 & c_x \\ 0 & f & c_y \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]\left[\begin{matrix} X\\Y\\Z \end{matrix} \right]$
其中，将矩阵
$\left[\begin{matrix} f & 0 & c_x \\ 0 & f & c_y \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]$
称为内参矩阵，因为它只和相机自身的内部参数有关（焦距，光心位置）。

#外参矩阵

一般情况下，世界坐标系和相机坐标系不重合，这时，世界坐标系中的某一点P要投影到像面上时，先要将该点的坐标转换到相机坐标系下。设P在世界坐标系中的坐标为X，P到光心的垂直距离为s（即上文中的Z），在像面上的坐标为x，世界坐标系与相机坐标系之间的相对旋转为矩阵R（R是一个三行三列的旋转矩阵），相对位移为向量T（三行一列），则
$s x = K [R X + T]$
其中 $R X + T$ 即为P在相机坐标系下的坐标，使用齐次坐标改写上式，有
$K\left[\begin{matrix}R & T\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}X\\1\end{matrix}\right]$
其中 $\left[\begin{matrix}R & T\end{matrix}\right]$ 是一个三行四列的矩阵，称为外参矩阵，它和相机的参数无关，只与相机在世界坐标系中的位置有关。
这里写图片描述

#相机的标定
相机的标定，即为通过某个已知的目标，求取相机内参矩阵的过程。最常用的标定目标就是棋盘格。用相机对棋盘格从不同角度拍摄多张照片，然后将这些照片导入标定程序或算法，即可自动求出相机的内参。
相机标定的方法和工具，我在这篇文章中已有详细的介绍，这里就不再细述了。在此提醒一下，之后的文章中若无特殊说明，所有相机均假定内参已知。

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