空间相关分析(三) 局部莫兰指数的理解与计算「建议收藏」

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

在上篇中，我们详细地阐述了全局莫兰指数(Global Moran’I)的含义以及具体的软件实操方法。今天，就来进一步地说明局部莫兰指数(Local Moran’I)的含义与计算。

首先说明一下进行局部相关分析的必要性：

在全局相关分析中，如果全局莫兰指数显著，我们即可认为在该区域上存在空间相关性。但是，我们还是不知道具体在哪儿些地方存在着空间聚集现象。这个时候就需要局部莫兰指数参与帮助说明。
即使全局莫兰指数为0，在局部上也不一定就没有空间聚集现象！(上篇博客中，学生的成绩的例子足以说明，在此不再赘述）

还是先从公式入手进行理解，相比全局莫兰指数，局部莫兰指数的计算方式要简洁许多，其计算方式如下：
$\mathit{I_{i}=\frac{Z_{i}}{S^2}\sum\limits_{j\not=i}^{n}w_{ij}Z_{j}}$
其中， $Z_{i}=y_{i}-\bar{y}$ ， $Z_{j}=y_{j}-\bar{y}$ ， $S^2=\frac{1}{n}\sum{(y_i-\bar{y})^2}$ ， $w_{ij}$ 为空间权重值， $n$ 为研究区域上所有地区的总数， $I_{i}$ 则代表第 ${i}$ 个地区的局部莫兰指数。为了方便理解，这里的 $y_{i(j)}$ 还是代表第 $i (j)$ 地区的人均GDP，并将求和号展开（ $S^2$ 总是正的，相当于只是对整个式子进行标准化而已，故这里省略了）：
$I_{i}=(y_{i}-\bar{y})[w_{i1}(y_{1}-\bar{y})+w_{i2}(y_{2}-\bar{y})+…w_{i(i-1)}(y_{i-1}-\bar{y})+w_{i(i+1)}(y_{i+1}-\bar{y})+…+w_{in}(y_{n}-\bar{y})]$

从上式不难看出， $I_{i}$ 的正负取决于 $y_{i}-\bar{y}$ 和后面那一坨。前者可反映出第 $i$ 个地区的经济发展水平与整个区域的平均水平之间的高低情况，后者则反映出第 $i$ 个地区的周边地区与整个区域水平之间的高低情况。两个式子都有高低两种可能性，两两组合，共有四种情况。

以表格的方式呈现如下：

$Z_{i}$	$\sum\limits_{j\not=i}^{n}w_{ij}Z_{j}$	$I_{i}$	含义
>0	>0	>0	第i个地区经济发展水平高，周边地区发展水平高
<0	<0	>0	第i个地区经济发展水平低，周边地区发展水平低
<0	>0	<0	第i个地区经济发展水平低，周边地区发展水平高
>0	<0	<0	第i个地区经济发展水平高，周边地区发展水平低

关于局部莫兰指数的范围问题在此进行说明：
大部分文献中指出的莫兰指数都是全局莫兰指数，它的范围是-1到1，而局部莫兰指数的范围是没有限制的！详细可参考王庆喜的《区域经济研究实用方法:基于Arcgis,Geoda和R运用》，如下图所示：
在这里插入图片描述

二、Moran’I散点图

当然，将上表内容以可视化的方式呈现，就得到了Moran’I散点图。以 $Z_{i}$ 为x轴， $\sum\limits_{j\not=i}^{n}w_{ij}Z_{j}$ 为y轴，将平面区域划分为四个象限，如下图所示：

这里还是以2018年人均GDP为基础数据，利用Geoda进行局部相关分析。操作过程如下：
导入空间权重矩阵——空间分析——单变量局部Moran’I分析

选择PGDP2018后，弹出以下对话框，这里我们先选择Moran散点图
在这里插入图片描述
细心地小伙伴可能会发现，下面这张图和全局莫兰指数得到的图是一样的！(emm.上面的那个moran’I 是全局莫兰指数，下面这些散点的横纵坐标的乘积就是各个区县的局部莫兰指数。相当于，一张图涵盖了两种指数的信息。
在这里插入图片描述
简单对这张图分析一下：从局部相关的角度来看，第一、三象限的点明显多于第二、四象限的点，即表示”低—低”型和”高—高”型聚集的区县较”高—低”型、”低—高”型的区县更多。更简单地来说，即经济较低(高)的区县在空间上更易聚集。从差异的角度来看，若”低—低”型和”高—高”型区县数量多，即说明此时的空间差异较小。（类比，你胖，周围人也胖，是不是你就胖的不明显啦

顺便提一下，既然全局莫兰指数和局部莫兰指数都称莫兰指数，两者肯定是有关系的，数学公式表达如下：
$I=\frac{\sum\limits_{i}I_{i}}{S_{0}\frac{\sum\limits_{i}{Z_i}}{n}}$

更多详细的内容，有兴趣的小伙伴可参考：
Anselin L . Local Indicators of Spatial Association—LISA[J]. Geographical analysis, 1995, 27(2):93-115.

三、LISA聚集图

说到这儿，好像还没说局部莫兰指数怎么检验吧！其实，检验方法一样还是利用Z检验：
$Z_{i}=\frac{I_{i}-E(I_{i})}{\sqrt{var(I_{i})}}$
其实，上面那个moran’I散点图并没有对各个区县的局部莫兰指数进行检验，LISA聚集图在就在给定的显著性水平下，对于那些通过显著性检验的区县以地图的方式呈现出来，绘制的LISA聚集图如下：