大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。
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经常有同学私信或留言询问相关问题，V号bitcarmanlee。github上star的同学，在我能力与时间允许范围内，尽可能帮大家解答相关问题，一起进步。
1.softmax初探
在机器学习尤其是深度学习中，softmax是个非常常用而且比较重要的函数，尤其在多分类的场景中使用广泛。他把一些输入映射为0-1之间的实数，并且归一化保证和为1，因此多分类的概率之和也刚好为1。
首先我们简单来看看softmax是什么意思。顾名思义，softmax由两个单词组成，其中一个是max。对于max我们都很熟悉，比如有两个变量a,b。如果a>b，则max为a，反之为b。用伪码简单描述一下就是 if a > b return a; else b。
另外一个单词为soft。max存在的一个问题是什么呢？如果将max看成一个分类问题，就是非黑即白，最后的输出是一个确定的变量。更多的时候，我们希望输出的是取到某个分类的概率，或者说，我们希望分值大的那一项被经常取到，而分值较小的那一项也有一定的概率偶尔被取到，所以我们就应用到了soft的概念，即最后的输出是每个分类被取到的概率。
2.softmax的定义
首先给一个图，这个图比较清晰地告诉大家softmax是怎么计算的。
(图片来自网络)
假设有一个数组V， V i V_i Vi表示V中的第i个元素，那么这个元素的softmax值为:
S i = e i ∑ j e j S_i = \frac{e^i}{\sum_j e^j} Si=∑jejei
该元素的softmax值，就是该元素的指数与所有元素指数和的比值。
这个定义可以说很简单，也很直观。那为什么要定义成这个形式呢？原因主要如下。
1.softmax设计的初衷，是希望特征对概率的影响是乘性的。
2.多类分类问题的目标函数常常选为cross-entropy。即 L = − ∑ k t k ⋅ l n P ( y = k ) L = -\sum_k t_k \cdot lnP(y=k) L=−∑ktk⋅lnP(y=k)，其中目标类的 t k t_k tk为1，其余类的 t k t_k tk为0。
在神经网络模型中(最简单的logistic regression也可看成没有隐含层的神经网络)，输出层第i个神经元的输入为 a i = ∑ d w i d x d a_i = \sum_d w_{id} x_d ai=∑dwidxd。
神经网络是用error back-propagation训练的，这个过程中有一个关键的量是 ∂ L / ∂ α i \partial L / \partial \alpha_i ∂L/∂αi。后面我们会进行详细推导。
3.softmax求导
前面提到，在多分类问题中，我们经常使用交叉熵作为损失函数
L o s s = − ∑ i t i l n y i Loss = – \sum_i t_i lny_i Loss=−i∑tilnyi
其中， t i t_i ti表示真实值， y i y_i yi表示求出的softmax值。当预测第i个时，可以认为 t i = 1 t_i = 1 ti=1。此时损失函数变成了:
L o s s i = − l n y i Loss_i = -lny_i Lossi=−lnyi
接下来对Loss求导。根据定义：
y i = e i ∑ j e j y_i = \frac{e^i}{\sum_j e^j} yi=∑jejei
我们已经将数值映射到了0-1之间，并且和为1，则有：
e i ∑ j e j = 1 − ∑ j ≠ i e j ∑ j e j \frac{e^i}{\sum_j e^j} = 1 – \frac{\sum_{j \neq i} e^j}{\sum_j e^j} ∑jejei=1−∑jej∑j=iej
接下来开始求导
∂ L o s s i ∂ i = − ∂ l n y i ∂ i = ∂ ( − l n e i ∑ j e j ) ∂ i = − 1 e i ∑ j e j ⋅ ∂ ( e i ∑ j e j ) ∂ i = − ∑ j e j e i ⋅ ∂ ( 1 − ∑ j ≠ i e j ∑ j e j ) ∂ i = − ∑ j e j e i ⋅ ( − ∑ j ≠ i e j ) ⋅ ∂ ( 1 ∑ j e j ) ∂ i = ∑ j e j ⋅ ∑ j ≠ i e j e i ⋅ − e i ( ∑ j e j ) 2 = − ∑ j ≠ i e j ∑ j e j = − ( 1 − e i ∑ j e j ) = y i − 1 {\begin{aligned} \frac{\partial Loss_i}{\partial _i} & = – \frac{\partial ln y_i}{\partial _i} \\ & = \frac{\partial (-ln \frac{e^i}{\sum_j e^j}) }{\partial _i} \\ & = – \frac {1}{ \frac{e^i}{\sum_j e^j}} \cdot \frac{\partial (\frac{e^i}{\sum_j e^j})}{ \partial_i} \\ & = -\frac{\sum_j e^j}{e^i} \cdot \frac{\partial (1 – \frac{\sum_{j \neq i} e^j}{\sum_j e^j}) } {\partial_i} \\ & = -\frac{\sum_j e^j}{e^i} \cdot (- \sum _ {j \neq i}e^j ) \cdot \frac{\partial( \frac {1} {\sum_j e^j} ) } { \partial _i} \\ &= \frac { \sum_j e^j \cdot \sum_{j \neq i} e^j} {e^i } \cdot \frac { – e^i} { (\sum_j e^j) ^ 2} \\ & = -\frac { \sum_{j \neq i} e^j } { \sum_j e^j } \\ & = -(1 – \frac{ e ^ i } { \sum_j e^j } ) \\ & = y_i – 1 \end{aligned}} ∂i∂Lossi=−∂i∂lnyi=∂i∂(−ln∑jejei)=−∑jejei1⋅∂i∂(∑jejei)=−ei∑jej⋅∂i∂(1−∑jej∑j=iej)=−ei∑jej⋅(−j=i∑ej)⋅∂i∂(∑jej1)=ei∑jej⋅∑j=iej⋅(∑jej)2−ei=−∑jej∑j=iej=−(1−∑jejei)=yi−1
上面的结果表示，我们只需要正想求出 y i y_i yi，将结果减1就是反向更新的梯度，导数的计算是不是非常简单！
上面的推导过程会稍微麻烦一些，特意整理了一下，结合交叉熵损失函数，整理了一篇新的内容，看起来更直观一些。
交叉熵损失函数(Cross Entropy Error Function)与均方差损失函数(Mean Squared Error)
4.softmax VS k个二元分类器
如果你在开发一个音乐分类的应用，需要对k种类型的音乐进行识别，那么是选择使用 softmax 分类器呢，还是使用 logistic 回归算法建立 k 个独立的二元分类器呢？
这一选择取决于你的类别之间是否互斥，例如，如果你有四个类别的音乐，分别为：古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐，那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签（即：一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种），此时你应该使用类别数 k = 4 的softmax回归。（如果在你的数据集中，有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类，那么你可以添加一个“其他类”，并将类别数 k 设为5。）
如果你的四个类别如下：人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲，那么这些类别之间并不是互斥的。例如：一首歌曲可以来源于影视原声，同时也包含人声 。这种情况下，使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样，对于每个新的音乐作品 ，我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。
现在我们来看一个计算视觉领域的例子，你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是：室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢？ (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片，你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢？
在第一个例子中，三个类别是互斥的，因此更适于选择softmax回归分类器 。而在第二个例子中，建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。
参考文献：
1.https://www.zhihu.com/question/40403377
2.http://deeplearning.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax回归
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