矩阵求逆矩阵[通俗易懂]

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

因为坐标系转换实现需要求系数矩阵，所以这里只介绍n*n维矩阵求逆矩阵的方法

单位矩阵E定义：

1 0 0 … 0

0 1 0 … 0

0 0 1 … 0

0 0 0 … 1

对角线上都是1，其他位置全是0

矩阵相乘：

n*n维矩阵A和B相乘（我们用A_ij表示A矩阵第i行第j列的值）

(A*B)_ij = A_i1*B_1j+A_i2*B_2j+A_i3*B_3j+…+A_in*B_n_j

逆矩阵定义：

假设一个n*n维矩阵A，如果存在一个n*n维矩阵B，使得A*B=E，那么就说B是A的逆矩阵A^-1，同样A也是B的逆矩阵B^-1

一个矩阵的逆矩阵不是一定存在的（可以通过判断行列式的值（也就是矩阵的模）等不等于0来判断逆矩阵存不存在，等于0就不存在逆矩阵）

矩阵行列式求值方法：

我们需要了解等一下矩阵的初等变换：

在线性代数中，矩阵的初等行变换是指以下三种变换类型：

(1) 交换矩阵的两行（对调i,j，两行记为ri，rj）；

(2) 以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素（第i行乘以k记为ri×k）；

(3) 把矩阵的某一行所有元素乘以一个数k后加到另一行对应的元素(第j行乘以k加到第i行记为ri+krj)。

类似地，把以上的“行”改为“列”便得到矩阵初等列变换的定义，把对应的记号“r”换为“c”。

矩阵的初等行变换与初等列变换合称为矩阵的初等变换。

我们需要知道使用初等变换对矩阵的模的值的改变

第一类初等变换（换行换列）使行列式变号。

第二类初等变换（某行或某列乘k倍）使行列式变k倍。

第三类初等变换（某行（列）乘k倍加到另一行（列））使行列式不变。

上三角矩阵定义：

主对角线以下都是零的方阵称为上三角矩阵。上三角矩阵具有行列式为对角线元素相乘、上三角矩阵乘以系数后也是上三角矩阵、上三角矩阵间的加减法和乘法运算的结果仍是上三角矩阵等性质。

示例：

1 5 6 2

0 4 8 5

0 0 3 1

0 0 0 5

为一个上三角矩阵。

计算行列式或者矩阵的时候，可以行变换和列变换混着用吗？

1、计算行列式时，可以同时施加第一、第三类初等行/列变换，施加第二类变换时需要将行列式乘上相应的系数

2、求矩阵的秩时，也即求相抵标准形时，可以施加三种初等行变换，或施加三种初等列变换（不可混用）

3、和单位矩阵拼在一起求逆矩阵时，竖着拼就只能用列变换，横着拼就只能用行变换

4、解方程只能行变换

A矩阵的伴随矩阵A^*的求法：

假设A为n阶矩阵，定义矩阵为A的伴随矩阵，记作 ${A^*}$ 。

，M_ij是矩阵A去掉i行j列后，所得矩阵的行列式。

求矩阵逆矩阵的两种方法：

一、根据定义

A^-1 = (1/|A|)*A^*

求出来A矩阵的模和伴随矩阵就可以

二、构造分块矩阵(A|E)

把分块矩阵(A|E)的A使用初等变换化成E，那么右边的E在跟着A一起初等变换之后的矩阵就是A^-1

原理（下图来源于：https://wenku.baidu.com/view/62c266db094e767f5acfa1c7aa00b52acec79c0c.html）：

矩阵求逆矩阵[通俗易懂]

C++代码实现：

代码来源于：https://blog.csdn.net/XX_123_1_RJ/article/details/39268041?locationNum=5&fps=1

代码思想：

采用第二种方法计算逆矩阵

获取行列式的值：把矩阵化为上三角矩阵之后按照定义求矩阵的模（注意，因为代码中fun函数，把矩阵变成上三角矩阵使用了初等行变换的1，3规则，又因为第一条规则会影响到行列式值的正负，所以需要记录一下行交换了几次）

#include<iostream> #include<iomanip>     
using namespace std; int const n=3;  //确定矩阵的节数 
  
/* 作者 星星笔记 */    
  
int main() { void temp(double aa[],double bb[],int n); double fun(double array[n][n]); double a[n][n],b[n][2*n],c[n][n],det1,yinzhi; double bb; int i,j,kk=0,k,u; for(i=0;i<n;i++)  //初始化一个辅助矩阵 
        for(j=0;j<2*n;j++) b[i][j]=0; //---------输入原始矩阵--------------- 
    cout<<"请输入一个"<<n<<"节方阵"<<endl; for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<n;j++) cin>>a[i][j]; //把矩阵a复制给矩阵b 
        for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<n;j++) b[i][j]=a[i][j]; for(j=0;j<n;j++) b[j][n+j]=1; //------------------------------------ //------------测试查看----------  /* cout<<"a所对应的at矩阵b为："<<endl; for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<2*n;j++) { cout<<setw(6)<<b[i][j]; kk=kk+1; if(kk%(2*n)==0) cout<<endl; } */
    //---------------------------------- // det1=fun(a);//获取行列式的值 
 
   for(i=0;i<n;i++) { // b[i][i] 等于 0 的情况
       if(b[i][i]==0) for(j=i;j<n;j++) { if(b[j][i]!=0) temp(b[i],b[j],2*n);  //交换两行 
 } // b[i][i] 不等于 0 的情况
       for(k=i+1;k<n;k++) { yinzhi = -1 * b[k][i] / b[i][i]; for(u=0; u < 2*n; u++) { b[k][u] = b[k][u] + b[i][u] * yinzhi; } } } det1 = fun(a);// 获取行列式的值，把矩阵化为上三角矩阵之后按照定义求矩阵的模（注意，因为代码中把矩阵变成上三角矩阵使用了初等行变换的1，3规则，又因为第一条规则会影响到行列式值的正负，所以需要记录一下行交换了几次） 
   if(det1 == 0) // 如果行列式的值为0 则是不可逆的。
 { cout<<"此矩阵不可逆："<<endl; return 0; } if(det1 != 0) { for(i=0; i<n; i++)    //左矩阵 的对角线 全部 转化为 1
 { bb = b[i][i];   // bb 不会等于0 因为对角线有有一个为0 说明行列式的值为零，
             for(j=0; j<2*n; j++) b[i][j] = b[i][j] / bb; } for(i=n-1; i>0; i--) for(k=0; k<i; k++) { bb = b[k][i]; for(u=0; u<2*n; u++) b[k][u] = b[k][u] - bb*b[i][u]; } } //------------测试查看----------  /* cout<<"变化后的at矩阵"<<endl; for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<2*n;j++) { cout<<setw(6)<<b[i][j]; kk=kk+1; if(kk%(2*n)==0) cout<<endl; } cout<<endl; */
   //------------------------------ 
  
   for(i=0; i<n; i++) for(j=0; j<n; j++) c[i][j] = b[i][j+n]; kk = 0; if(det1!=0) //输出逆矩阵 
 { cout<<"其可逆且其行列式的值det为："<<det1<<endl<<endl; cout<<"可逆a矩阵的逆矩阵为c矩阵："<<endl; for(i=0; i<n; i++) for(j=0; j<n; j++) { cout<<setw(15)<<c[i][j]; kk = kk+1; if(kk%n == 0) cout<<endl; } } return 0; } void temp(double aa[],double bb[],int n) { //交换数组指定的两行，即进行行变换（具体为行交换） 
    int i; double temp1; for(i=0; i<n; i++) { temp1 = aa[i]; aa[i] = bb[i]; bb[i] = temp1; } } double fun(double array[n][n]) { int ii,jj,k,u; int iter = 0; double det1=1,yin; for(ii=0; ii<n; ii++) { if(array[ii][ii] == 0) for(jj=ii;jj<n;jj++) { if(array[jj][ii] != 0) { temp(array[ii],array[jj],n);//交换两行 
                    iter++; } } for(k=ii+1; k<n; k++) { yin = -1 * array[k][ii] / array[ii][ii]; for(u=0; u<n; u++) { array[k][u] = array[k][u] + array[ii][u] * yin; } } } for(ii=0;ii<n;ii++) det1 = det1 * array[ii][ii]; if(iter % 2 == 1) det1 = -det1; return (det1);      //返回行列式的值 
}