动态规划：完全背包、多重背包[通俗易懂]

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一、问题描述：

　　完全背包：有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。　　　　

　　多重背包：有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

　　比较这两个题目以及上次谈到的0-1背包（想看0-1背包的请移步：0-1背包），会发现不同点在于每种背包的数量，01背包是每种只有一件，完全背包是每种无限件，而多重背包是每种有限件。

二、完全背包动态规划过程：

　　　　根据第i种物品放多少件进行决策，所以状态转移方程为

       　　其中F[i-1][j-K*C[i]]+K*W[i]表示前i-1种物品中选取若干件物品放入剩余空间为j-K*C[i]的背包中所能得到的最大价值加上k件第i种物品；

       　　设物品种数为N，背包容量为V，第i种物品体积为C[i]，第i种物品价值为W[i]。

       　　与01背包相同，完全背包也需要求出NV个状态F[i][j]。但是完全背包求F[i][j]时需要对k分别取0,…，j/C[i]求最大F[i][j]值。

　　　　这样代码应该是三层循环（物品数量，物品种类，背包大小这三个循环），伪代码如下：

F[0][] ← {0}  
  
F[][0] ← {0}  
  
for i←1 to N  
  
    do for j←1 to V  
  
        do for k←0 to j/C[i]  
  
           if(j >= k*C[i])  
  
                then F[i][k] ← max(F[i][k],F[i-1][j-k*C[i]]+k*W[i])  
  
return F[N][V]

很明显，这样一般情况下会超时，需要转化成时间复杂度比较低的在进行求解

　　经过思考可以想到完全背包可以转化为01背包：

       因为同种物品可以多次选取，那么第i种物品最多可以选取V/C[i]件价值不变的物品，然后就转化为01背包问题。如果把第i种物品拆成体积为C[i]×2k价值W[i]×2k的物品，其中满足C[i]×2k≤V。即设F[i][j]表示出在前i种物品中选取若干件物品放入容量为j的背包所得的最大价值。那么对于第i种物品的出现，我们对第i种物品放不放入背包进行决策。如果不放那么F[i][j]=F[i-1][j]；如果确定放，背包中应该出现至少一件第i种物品，所以F[i][j]种至少应该出现一件第i种物品,即F[i][j]=F[i][j-C[i]]+W[i]。为什么会是F[i][j-C[i]]+W[i]？因为F[i][j-C[i]]里面可能有第i种物品，也可能没有第i种物品。我们要确保F[i][j]至少有一件第i件物品，所以要预留C[i]的空间来存放一件第i种物品。

　　状态方程为：

0-1背包和完全背包的不同：

　　从二维数组上区别0-1背包和完全背包也就是状态转移方程就差别在放第i中物品时，完全背包在选择放这个物品时，最优解是F[i][j-c[i]]+w[i]即画表格中同行的那一个，而0-1背包比较的是F[i-1][j-c[i]]+w[i]，上一行的那一个。

　　从一维数组上区别0-1背包和完全背包差别就在循环顺序上，0-1背包必须逆序，因为这样保证了不会重复选择已经选择的物品，而完全背包是顺序，顺序会覆盖以前的状态，所以存在选择多次的情况，也符合完全背包的题意。状态转移方程都为F[i] = max(F[i],dp[F-c[i]]+v[i])。

三、完全背包代码

　　用一维数组实现

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int w[300],c[300],f[300010];
int V,n;
int main()
{
    scanf("%d%d",&V,&n);
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);
    }
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=w[i]; j<=V; j++)//注意此处，与0-1背包不同，这里为顺序，0-1背包为逆序
            f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
    printf("max=%d\n",f[V]);
    return 0;
}

多重背包问题的思路跟完全背包的思路非常类似，只是k的取值是有限制的，因为每件物品的数量是有限制的，状态转移方程为：

　　　　dp[i][v] = max{dp[i – 1][v – k * c[i]] + w[i] | 0 <=k <= n[i]}  

　　　　其中c[i]是物品的数量，和完全背包的不同支出在于完全背包可以取无数件，而多重背包给定了最多能取的数量。这样也是三个循环，分别是背包容量，物品个数和物品种类。这样如果数量比较多的情况，很明显这个做法也会超时，所以我们也要想更优化的方法去完善。

　　转化为01背包问题

　　　　转化为01背包求解：把第i种物品换成n[i]件01背包中的物品。考虑二进制的思想，考虑把第i种物品换成若干件物品，使得原问题中第i种物品可取的每种策略——取0..n[i]件——均能等价于取若干件代换以后的物品。另外，取超过n[i]件的策略必不能出现。

　　　　方法是：将第i种物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为1,2,4,…,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如，如果n[i]为13，就将这种物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品。

　　　　分成的这几件物品的系数和为n[i]，表明不可能取多于n[i]件的第i种物品。另外这种方法也能保证对于0..n[i]间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示，证明我也没看过这里就不贴上了，主要还是需要去理解代码，代码在下面给出。

五、多重背包代码：

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define MAX 1000000
using namespace std;

int dp[MAX];//存储最后背包最大能存多少
int value[MAX],weight[MAX],number[MAX];//分别存的是物品的价值，每一个的重量以及数量
int bag;

void ZeroOnePack(int weight,int value )//01背包
{
    int i;
    for(i = bag; i>=weight; i--)
    {
        dp[i] = max(dp[i],dp[i-weight]+value);
    }
}
void CompletePack(int weight,int value)//完全背包
{
    int i;
    for(i = weight; i<=bag; i++)
    {
        dp[i] = max(dp[i],dp[i-weight]+value);
    }
}

void MultiplePack(int weight,int value,int number)//多重背包
{
    if(bag<=number*weight)//如果总容量比这个物品的容量要小，那么这个物品可以直到取完，相当于完全背包
    {
        CompletePack(weight,value);
        return ;
    }
    else//否则就将多重背包转化为01背包
    {
        int k = 1;
        while(k<=number)
        {
            ZeroOnePack(k*weight,k*value);
            number = number-k;
            k = 2*k;//这里采用二进制思想
        }
        ZeroOnePack(number*weight,number*value);
    }
}
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d%d",&bag,&n))
    {
        int i,sum=0;
        for(i = 0; i<n; i++)
        {
            scanf("%d",&number[i]);//输入数量
            scanf("%d",&value[i]);//输入价值  此题没有物品的重量，可以理解为体积和价值相等
        }
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(i = 0; i<n; i++)
        {
            MultiplePack(value[i],value[i],number[i]);//调用多重背包,注意穿参的时候分别是重量，价值和数量
        }
        cout<<dp[bag]<<endl;
    }
    return 0;
}