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计算机数学基础课件教学课件作者刘树利01课件.ppt
第一章 函数、极限与连续 (4) 极限的简单性质 ＞0，同时在x1的附近的点的函数值也是正的。B＜0，同时在 x2附近的点的函数值也是负的。(如图) limf(x)＝A x→x0 由上面的说明就可得出函数f(x)在x0处的极限值的符号与x0点附近(即某去心邻域)的点的函数值的符号的关系。 定理1.3 如果 ，而且A＞0(或A＜0)，那么总存在点x0的某去心邻域(x0－δ，x0)∪(x0，x0+δ)，使对该邻域内的任意点x总有f(x)＞0(或f(x)＜0)。 limf(x)＝A x→x0 定理1.4 如果 ，而且在x0的某邻域内(可以不包括x0)f(x)≥0(或 f(x)≤0)，那么有A≥0(或A≤0)。 limf(x)＝A x→x0 返回 ? 1.5 无穷大量与无穷小量 ?1.5.1无穷大量 定义1.15 在某一自变量的变化过程中，如果相应的函数值的绝对值无限增大，那么称此函数为无穷大量(简称无穷大)。 “绝对值无限增大”包含以下两种特殊情形： (1) 函数值大于零，且绝对值无限增大。此时称函数为正无穷大量(简称正无穷大)； (2) 函数值小于零，且绝对值无限增大。此时称函数为负无穷大量(简称负无穷大)。 继续点击 前页 前页 ?1.5.2无穷小量 定义1.16 在某一自变量的变化过程中，极限为零的函数称为无穷小量(简称无穷小)。 性质1 有限个无穷小的代数和还是无穷小。 性质2 有界变量与无穷小量的乘积是无穷小。 由性质2可得下面推论： 推论1 常数与无穷小量的乘积仍然是无穷小量。 推论2 有限个无穷小的乘积仍是无穷小。 有极限的变量与无穷小量之间有着密切的关系。 定理1.5 f(x)＝A的充分必要条件是f(x)＝A+α(x)，其中α(x)是无穷 小量(x→x0时)。 limf(x)＝A x→x0 注意：所谓某一函数或某一变量是无穷大量或无穷小量都是相对于某一自变量的变化过程来说的，离开了这一点，单纯讲某变量是无穷大量或无穷小量是无意义的，除非根据上下文可以不言自明。 ?1.5.3无穷小量与无穷大量的关系 关于无穷小量与无穷大量的关系有如下定理： 定理1.6 在自变量x的某一变化过程中： (1) 如果f(x)是无穷大量，那么 是无穷小量； (2) 如果f(x)是非零无穷小量，那么 是无穷大量。 １ f(x) １ f(x) 在求极限时，经常要用到无穷小量与无穷大量的这种倒数关系。 ?1.5.4无穷小量的比较 无穷小量虽然都是极限为零的变量，但它们趋于零的速度有快有慢。 例如，有一个正方形的金属薄片，它的边长为1。因为受热，边长增加了η，从而面积的增量是ΔS＝(1+η)2－12＝2η+η2。如果η是无穷小量，那么2η、η2也是无穷小量，但它们趋于零的速度是不一样的。列表比较如下： … 0.000 001 0.0001 0.01 0.25 η2 … 0.002 0.02 0.2 1 2η … 0.001 0.01 0.1 0.5 η 定义1.17 设α、β是同一极限过程中的两个无穷小量。 如果 ＝0，那么称α是比β高阶的无穷小，记作α＝o(β)； 如果 ＝∞，那么称α是比β低阶的无穷小； 如果 ＝C(C为非零常数)，那么称α与β是同阶无穷小。 在同阶无穷小中，如果 ＝1，那么称α与β是等价无穷小，记作α～β。 lim α β lim α β lim α β lim α β ?1.6.1极限运算性质 假设C是常数，并且极限f(x)和g(x)都存在，则有： 例 试证明极限运算的和性质： 。 证设 ， ，则由定理1.5得： f(x)＝L+α(x)，g(x)＝M+β(x)， 其中α(x)、β(x)是当x→a时的无穷小量。 于是 f(x)+g(x)＝(L+M)+［α(x)+β(x)］。 由无穷小的性质知，x→a时α(x)+β(x)也是无穷小，所以由定理1.5知： 。 证毕。 ? 1.6 极限运算 ?1.6.2利用性质求极限 直观地观察下面几个极限公式： (1)limC＝C (C为常数)； (2)limx＝a； (3)limxn＝an(由乘方性质得到) (n为正整数)； (4)limn x ＝n a(n为正整数，且当n为偶数时，假设a＞0)。 利用以上基本公式和极限性质，可以计算多项式、多项式之商(有理函数)及一些无理函数的极限。 x→a x
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