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参考及致谢
一阶倒立摆的PID控制和LQR控制
由拉普拉斯变换到传递函数
函数f(t)二阶导数的拉普拉斯变换是什么？
[1]翟龙余.一级倒立摆仿真模型的建立[J].大众科技,2011(8):268-270.
模型建立
对小车的水平受力分析
M x ¨ = F − b x ˙ − N M\ddot{x}=F-b\dot{x}-N Mx¨=F−bx˙−N
- x ¨ \ddot{x} x¨代表对运动距离的二阶微分，即小车在外力作用下的加速度。
- F F F是外部施加给系统的外力。
- x ˙ \dot{x} x˙代表小车当前的运动速度，小车所受到的摩擦力为摩擦系数与小车运动速度之积，即 f = b x ˙ f=b\dot{x} f=bx˙。
- N N N为倒单摆作用给小车水平方向的力。
对倒单摆的水平受力分析
摆杆做平面运动，其质心在外力作用下，在一段时间内的水平位移为 s = x − l × s i n ψ s= x-l×sin\psi s=x−l×sinψ (因为倒立摆的倒向与外力 F F F的方向相反，所以中间用负号)，其加速度可以表示成
s ¨ = d 2 s d t 2 = d 2 ( x − l × s i n ψ ) d t 2 = x ¨ − l ( d 2 s i n ψ d t 2 ) \ddot{s}=\frac {d^2s}{dt^2}=\frac{d^2( x-l×sin\psi)}{dt^2}=\ddot{x}-l(\frac{d^2sin\psi}{dt^2}) s¨=dt2d2s=dt2d2(x−l×sinψ)=x¨−l(dt2d2sinψ)
= x ¨ − l c o s ψ d ψ d t d t = x ¨ − l [ − s i n ψ ( d ψ d t ) 2 + c o s ψ d 2 ψ d t 2 ] =\ddot{x}-l\frac{cos\psi\frac{d\psi}{dt}}{dt}=\ddot{x}-l[-sin\psi(\frac{d\psi}{dt})^2+cos\psi \frac{d^2\psi}{dt^2}] =x¨−ldtcosψdtdψ=x¨−l[−sinψ(dtdψ)2+cosψdt2d2ψ]
更换符号后即可得到：
s ¨ = x ¨ + l s i n ψ ( ψ ˙ ) 2 − l c o s ψ ( ψ ¨ ) \ddot{s}=\ddot{x}+lsin\psi(\dot{\psi})^2-lcos\psi(\ddot{\psi}) s¨=x¨+lsinψ(ψ˙)2−lcosψ(ψ¨)
根据牛顿第二定律，此时摆质心的受力与加速度的关系为：
N = m x ¨ − ( m l ψ ¨ ) c o s ψ + m l ψ 2 ˙ s i n ψ N=m\ddot{x}-(ml\ddot{\psi})cos\psi+ml\dot{\psi ^2}sin\psi N=mx¨−(mlψ¨)cosψ+mlψ2˙sinψ
联立关于倒立摆与小车的受力分析，替换掉相互作用力 N N N，得到：
( M + m ) x ¨ + b x ˙ − m l ψ ¨ c o s ψ + m l ψ ˙ 2 s i n ψ = F (M+m)\ddot{x}+b\dot{x}-ml\ddot{\psi}cos\psi+ml\dot{\psi}^2sin\psi=F (M+m)x¨+bx˙−mlψ¨cosψ+mlψ˙2sinψ=F
对倒单摆的垂直受力分析
倒单摆的质心在一段时间内垂直方向上移动的距离可以表示成： h = l c o s ψ h=lcos\psi h=lcosψ
式中 ψ \psi ψ为单摆绕轴心转动的角度。
摆的质心在垂直方向的加速度可以表示为（注意，此时加速度方向与重力方向一致）：
h ¨ = d 2 ( l c o s ψ ) d t 2 = l d ( − s i n ψ d ψ d t ) d t = − l c o s ψ ( d ψ d t ) 2 − l s i n ψ ( d 2 ψ d t 2 ) \ddot{h}=\frac{d^2(lcos\psi)}{dt^2}=l\frac{d(-sin\psi\frac{d\psi}{dt})}{dt}=-lcos\psi(\frac{d\psi}{dt})^2-lsin\psi(\frac{d^2\psi}{dt^2}) h¨=dt2d2(lcosψ)=ldtd(−sinψdtdψ)=−lcosψ(dtdψ)2−lsinψ(dt2d2ψ)
垂直方向有重力 m g mg mg和小车对摆的支持力 P P P，另外单摆会有一个与重力方向一致的加速度。
垂 直 向 上 的 分 量 = 垂 直 向 下 的 分 量 垂直向上的分量=垂直向下的分量 垂直向上的分量=垂直向下的分量
P = m g + m h ¨ P=mg+m\ddot{h} P=mg+mh¨
P = m g − m l c o s ψ ( d ψ d t ) 2 − m l s i n ψ ( d 2 ψ d t 2 ) P=mg-mlcos\psi(\frac{d\psi}{dt})^2-mlsin\psi(\frac{d^2\psi}{dt^2}) P=mg−mlcosψ(dtdψ)2−mlsinψ(dt2d2ψ)
替换符号之后可以得到：
P = m g − m l ( c o s ψ ) ψ ˙ 2 − m l ( s i n ψ ) ψ ¨ P=mg-ml(cos\psi)\dot{\psi}^2-ml(sin\psi)\ddot{\psi} P=mg−ml(cosψ)ψ˙2−ml(sinψ)ψ¨
假设摆受力不平衡，会有以铰链为圆心的角加速度，将 P P P和 N N N分别在转动方向上投影，根据倒单摆平衡时的力矩方程方程得到：
I ψ ¨ = P l s i n ψ + N l c o s ψ I\ddot{\psi}=Plsin\psi+Nlcos\psi Iψ¨=Plsinψ+Nlcosψ
观察上面的式子，你可能会发现里面少了一个分量，这个分量就是重力在垂直于摆方向的分力 m g s i n ψ mgsin\psi mgsinψ，很多博客和论文上也是直接这么写，没有解释原因。只有以质心为参考点时，重力不产生力矩，上式成立，但这显然是背离事实的，个人理解，这里在小角度时为了方便分析做了近似。
其中 I I I为摆的转动惯量。将 P P P和 N N N的表达式与力矩平衡方程联立，消去中间变量 P P P、 N N N，得到：
( I + m l 2 ) ψ ¨ − m g l s i n ψ = m l x ¨ c o s ψ (I+ml^2)\ddot{\psi}-mglsin\psi=ml\ddot{x}cos\psi (I+ml2)ψ¨−mglsinψ=mlx¨cosψ
线性化
至此，我们通过受力分析得到了两个非常重要的式子：
( M + m ) x ¨ + b x ˙ − m l ψ ¨ c o s ψ + m l ψ ˙ 2 s i n ψ = F (M+m)\ddot{x}+b\dot{x}-ml\ddot{\psi}cos\psi+ml\dot{\psi}^2sin\psi=F (M+m)x¨+bx˙−mlψ¨cosψ+mlψ˙2sinψ=F
( I + m l 2 ) ψ ¨ − m g l s i n ψ = m l x ¨ c o s ψ (I+ml^2)\ddot{\psi}-mglsin\psi=ml\ddot{x}cos\psi (I+ml2)ψ¨−mglsinψ=mlx¨cosψ
考虑到倒单摆在实际工作时，偏转角 ψ \psi ψ通常比较小，于是有：
{ c o s ψ = 1 s i n ψ = ψ ψ ˙ = 0 \left\{ \begin{aligned} cos\psi & = & 1\\ sin \psi & = &\psi \\ \dot{\psi} & = & 0 \end{aligned} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧cosψsinψψ˙===1ψ0
用 u u u来代表作用于受控对象的外力 F F F，结合上述近似结果，有：
{ ( M + m ) x ¨ + b x ˙ − m l ψ ¨ = u ( I + m l 2 ) ψ ¨ − m g l ψ = m l x ¨ \left\{ \begin{aligned} (M+m)\ddot{x}+b\dot{x}-ml\ddot{\psi}&=& u \\ (I+ml^2)\ddot{\psi}-mgl\psi &=& ml\ddot{x} \end{aligned} \right. {
(M+m)x¨+bx˙−mlψ¨(I+ml2)ψ¨−mglψ==umlx¨
求系统传递函数
由上一节，我们最终得到了一个关于系统状态的微分方程组。而拉普拉斯变换可以将微分方程转化为代数方程进行运算，使求解大为简化。
( M + m ) x ¨ + b x ˙ − m l ψ ¨ = u → ( M + m ) X ( s ) s 2 + b X ( s ) s − m l Ψ ( s ) s 2 = U ( s ) (M+m)\ddot{x}+b\dot{x}-ml\ddot{\psi}= u \rightarrow(M+m)X(s)s^2+bX(s)s-ml\Psi(s)s^2=U(s) (M+m)x¨+bx˙−mlψ¨=u→(M+m)X(s)s2+bX(s)s−mlΨ(s)s2=U(s)
( I + m l 2 ) ψ ¨ − m g l ψ = m l x ¨ → ( I + m l 2 ) Ψ ( s ) s 2 − m g l Ψ ( s ) = m l X ( s ) s 2 (I+ml^2)\ddot{\psi}-mgl\psi = ml\ddot{x}\rightarrow(I+ml^2)\Psi(s)s^2-mgl\Psi(s)=mlX(s)s^2 (I+ml2)ψ¨−mglψ=mlx¨→(I+ml2)Ψ(s)s2−mglΨ(s)=mlX(s)s2
现在我们系统的输入变量是 U ( s ) U(s) U(s)，而我们关心的是小车当前的位置 X ( s ) X(s) X(s)以及倒单摆的角度 Ψ ( s ) \Psi(s) Ψ(s)
经过整理，可以得到下面的系统传递函数。
摆角度的传递函数：
P p e n d ( s ) = ψ ( s ) U ( s ) = m l s q s 3 + b ( I + m l 2 ) s 2 − ( m + M ) m g l s − b m g l P_{pend}(s)=\frac{\psi(s)}{U(s)}=\frac{mls}{qs^3+b(I+ml^2)s^2-(m+M)mgls-bmgl} Ppend(s)=U(s)ψ(s)=qs3+b(I+ml2)s2−(m+M)mgls−bmglmls
小车位置的传递函数：
P c a r t ( s ) = X ( s ) U ( s ) = ( I + m l 2 ) s 2 − m g l q s 4 + b ( I + m l 2 ) s 3 − ( m + M ) m g l s 2 − b m g l s P_{cart}(s)=\frac{X(s)}{U(s)}=\frac{(I+ml^2)s^2-mgl}{qs^4+b(I+ml^2)s^3-(m+M)mgls^2-bmgls} Pcart(s)=U(s)X(s)=qs4+b(I+ml2)s3−(m+M)mgls2−bmgls(I+ml2)s2−mgl
上面两式中 q q q为公因数项：
q = ( m + M ) ( I + m l 2 ) − m 2 l 2 q=(m+M)(I+ml^2)-m^2l^2 q=(m+M)(I+ml2)−m2l2
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