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转载来源于：
http://student.zjzk.cn/course_ware/web-gcsx/gcsx/chapter3/chapter3.2.htm
http://student.zjzk.cn/course_ware/web-gcsx/gcsx/chapter1/chapter1.2.htm#21
先回顾一下高斯消元法：
§1.2 消元法与矩阵的初等变换
定义1. 由m个方程，n个未知量组成的线性方程组的一般
形式是：
其中 
为未知量， 
是第i个方程中未知量 
的系数
称为常数项。如果 
不全为零，则称方程组为非齐次线性方程组; 如果 
全为零，则称方程组为齐次线性方程组。
线性方程组和矩阵有密切的关系，未知量的系数所组成的 
矩阵
称为方程组的系数矩阵。常数项也可以组成一个 
矩阵，
即列矩阵
如果把b添写在系数矩阵A的右边，便得到 
矩阵
称 
为方程组的增广矩阵。显然，增广矩阵完全确定了线性方程组。
如果存在一组常数：
，使得 
满足方程组，称为方程组的一个解。如果两个线性方程组有相同的解，则称它们是同解的。
例1. 用消元法求解线性方程组
消去了 
上面最后这个方程组称为阶梯形方程组，其中各方程组所含未知量的个数，从上一方程到下一方程在逐步减少，因此它就是我们希望转化的形式。要解出方程组的解，现在只需逐步回代：先把 (19) 解出的 
代入 (18),，得 
在把 
， 
代入(17),得 
，于是得方程组得解：
， 
， 
分析上述消元的过程，容易看出它实际上只是对方程组反复施行一下3种变换：
(1) 交换变换：交换第i 行与第j 行的位置 （记为 
）
(2) 倍法变换：用非零数k乘第i行（记为 
，或 
）
(3) 消法变换：把第i 行的k倍加到第j行上去（记为 
或 
或
）
分别称为矩阵的第一种，第二种，第三种初等行变换，统称为矩阵的初等行变换。
因此，对方程组施行的初等变换，相当于对方程组的增广矩阵
施行相应的初等行变换。
例2．
上面最后这个矩阵称为阶梯形矩阵，与它对应的方程组就是前面的阶梯形方程组。阶梯形矩阵是线性代数中常用的一种矩阵，它的定义是：
定义2. 称满足下列两个条件的矩阵为阶梯形矩阵：
(1)如果存在零行（元素全是零的行），则零都在非零行（元素不全为零的行）的下边；
(2)每个首非零元（非零行最左边的非零元素）所在的列中，位于这个非零元下边的元素全是零。
例如，下列矩阵都是阶梯形矩阵。
下列矩阵都不是阶梯形矩阵：
例2． 用初等行变换将矩阵
化成首非零元都是1 的阶梯形矩阵
解： 
前面我们给出了矩阵初等行变换的定义，如果将这个定义中的“行”都换成“列”，它就是矩阵初等列变换的定义（约定今后用记号“ 
” ，“ 
”，“ 
” 等，分别表示矩阵的第一种，第二种，和第三种初等列变换）。
定义3. 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换 。
如果矩 阵A经过若干次初等行（列）变换后变成了矩 阵B，则称A与B行（列）等价，或称A行（列）等价于B，简称A等价于B，记为 
。
行数列数均相同的二个矩阵称为同型矩阵。
矩阵等价是同型矩阵之间的一种关系。这种关系具有下列基本性质：
(1) 反身性： 
；
(2) 对称性：若 
，则 
；
(3) 传递性：若 
， 
，则 
；
矩阵行等价和矩阵列等价统称为矩阵等价。
§3.2.高斯—约当消元法
在1.2节曾对求解线性方程组的消元法作过初步讨论，下面我们通过矩阵的初等变换，对消元法作进一步的研究。
我们可通过消法变换把矩阵化为成标准型和上三角形等。用以下定理得到的算法，规律性强，更适宜于用计算机解题。
定理一. 任意一个非零矩阵 
可经初等变换化为下
面形式的矩阵
该矩阵称为矩阵A的标准形
证明 因A≠0，不妨设a11≠0，这是因为，假若a11=0，
我们可用交换变换，将A中的某一非零元素调换到第一行第一列
上去。对A施行初等变换，得
，
如果A1=0，则B已是标准形了，如果A1¹0，同样可不妨设
b22≠0，继续对B进行等变换，得
令
，
同样，若A2=0，则是C已是标准形，若A2≠0，重复上述步骤，
必可得到矩阵的标准形。特别，当 r=m<n时，A的标准形为
[Em，0]
当r=m>n时，A的标准形为
，
当r=m=n时，A的标准形为En。
例1.
此法常用来求矩阵的秩。注意，此法有列变换，不适宜于解线性方程组。
定理二.任一非零阵A=（aij）m×n，可经消法变换化为上三角阵。
……®A*
下面写出此消元法的算法:(设akk(k)¹0)
当m>n
当m<n
当m=n
例2
A＝ 
此方法通常称为高斯消元法，常用于解线性方程组和矩阵的秩的计算。如例2中矩阵A的秩r(A)＝3。
例3． 
解：
A* X = B* 为 
x3=2,
定理三. 任一非零方阵A=(aij)n×n可经初等行变换化为标准型。
证明：
与定理一的区别在于
1）不用列变换。
2）第j列消元时，不只是消去1的下方的元素，而是同时消去
j列中除主对角线元素之外的所有元素。
3）对第n列也需要消元。
下面写出此消元法的算法:(若 akk ¹ 0)
例4
＝I
此方法通常称为高斯—约当方法，常用于解线性方程组和求
逆矩阵。
从例子可见，高斯—约当方法把一个非奇异的矩阵A变成了单位矩阵I，也就是相当于在A的左边乘上了A-1，于是对增广矩阵 
，A-1b=x即为线性方程组Ax=b的解。 
增广的部分就是A-1。
例5．求矩阵
的逆矩阵。
得
高斯—约当消元法也可以同时解几个系数矩阵相同的方程组。
例6．
一起解
解 由于
对应矩阵可逆，于是可用初等行变换求解。
得矩阵方程的解 
其实是同时解了
二个线性方程组。
例7 
解： 
再从最下边的一个主元1开始，依次把每个主元1上边的元素都化成零：
这就把 
化成了简化行阶梯形矩阵，对应的同解方程组是
其中未知量x1，x2，x3对应于主元1，我们称它们为约束未知量(通常我们把对应于单位向量的未知量作为约束未知量)；而把方程组中除约束未知量外的其它未知量（这里只有x4）称为自由未知量。由上面的方程组中解出约束未知量，这只要将自由未知量移到方程右端去，即得 
解有无穷多组，表示了此方程组的全部解。若任给x4的一个值，由上式就可唯一的定出x1，x2，x3的一组解，从而连同给定的x4的值，就可得到方程组的一个解。例如，令x4＝2，代入上式就得到方程组的一个解 x1=-3，x2=-1, x3=1, x4=2
如果令x4＝-4，代入上式就得到方程组的另一个解
x1=6，x2=5, x3=－2, x4=－4
定义1. ,用自由未知量表示约束未知量的表达式称为线性方程组的通解。表示了线性方程组的全部解。
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