欧氏空间距离和内积_内积空间与Hilbert空间

内积空间是一种特殊的赋范空间，从泛函分析发展的历史上看，人们首先注意到的是内积空间而不是赋范空间。

内积空间特别是

空间(完备的内积空间)是对维欧氏空间最自然的“推广”，推广到无穷维空间(存在收敛性问题)。他们具有与欧氏空间十分相近的性质。

空间迄今为止仍然是应用最广泛的一类空间。

在内积空间和

空间中使用的“几何”概念和术语，与欧几里得几何中的语言相似，它是由E.Schimidt在1908年引入的。

内积空间的基本性质

内积空间的定义

在

中可以定义距离、范数、内积这些概念，设

，其内积定义为：

于是我们有：

定义1：

是数域

上的线性空间，如果对于任意

，有

中的一个数

与它们对应，使得对任意的

，满足：

当且仅当

(正定性)；

(共轭对称性)；

；

。

则称

是

上的一个内积，定义了内积的线性空间

称为内积空间。

注1：

是一个二元函数，对于每一个固定的

是

上的一个线性函数(线性泛函)。(因为满足3. 4. 两条)

由内积生成的范数

在内积空间中，希望定义元素的范数

，且

定理4：(Schwarz不等式)

设

是内积空间，对于

有

定理6：每个内积空间

按范数

成为一个赋范空间。

注：内积空间中定义了范数，由范数又可以定义距离，这样就有了收敛性等距离空间中所具有的性质。

不等式可以写成：

由

不等式我们还可以得到：

定理7：设

是内积空间，则内积

是关于

的连续函数，即当

时(

是点列)

内积和由其生成范数之间的关系

平行四边形法则：平行四边形对角线平方和等于其四条边平方和

特别地，在有了正交性的概念以后，平行四边形法则也成为了勾股定理。

注：由内积可定义一个范数

内积空间必定是一个赋范空间。再由范数诱导出的距离

又可以成为一个距离空间。

极化恒等式

这是内积空间的特征性质。

完备的内积空间

定义12：完备的内积空间称为

空间

内积空间是否完备是指由内积产生的赋范空间是否完备，即距离空间中的

列是否都收敛。

定理13：一个完备空间的闭子空间也是完备的。

注：空间是否完备是由全体

列是否都收敛决定的。由距离空间完备化定理，任何一个内积空间

都可以完备化(因为内积空间也是一个距离空间)，即：不完备的内积空间

，可以完备成一个

空间

，

等距同构于

中的一个稠子集。

正交与正交分解

正交的定义

定义1：设

是内积空间，

，若

，则称

与

正交，记为

。

元素正交于集合：

定义3：设

是内积空间，

，如果对任意的

，有

，则称

正交与

，记为

。

集合与集合正交：

定义4： 设

是内积空间，

和

是

中的两个子集，如果对于任意的

，有

，则称

正交于

，记为

。

正交补集

定义5：设

是内积空间

的子集，则

中所有与

正交的元素组成的集合称为

的正交补，记为

。

定理7：设

是内积空间，

是

的任意子集，则

是

中的闭子空间。

注：

是

的子集，

不一定是子空间，但是

是

的闭子空间。

子空间指的是集合内元素的线性组合仍属于该集合则称为是子空间。闭指的是对极限运算是封闭的，取极限后仍在空间里面。

定理8：设

是内积空间

的一个线性子空间，则

当且仅当对

，有

。

最佳逼近

在前一章节中我们定义了一点

到一个集合

的距离

：

如果存在点

，使得：

则称

是

在集合

中的最佳逼近点。即

是集合中与

“最接近的点”。

下确界就是距离都大于等于这个值，即距离能取到的最小值。

在

空间，最佳逼近的问题相对比较简单。

在实际问题中，集合

一般是一个需要搜索的空间(

也可能是个全空间)，我们要在这个空间中找到一个点

(空间

中包含无数多个点)使得

与我们给定的真实值之间的距离最短。

首先引进严格凸的概念：

定义9：一个赋范空间

称为严格凸的，如果对于任意的

，并且

(即单位向量)，都有

注：

为任意凸组合。

定理10：内积空间是严格凸的赋范空间。(其他的赋范空间可能不是严格凸的)

对于严格凸的

空间，我们有

定理11：设

是

空间

中的非空闭凸集，则对于任意的

，存在唯一的最佳逼近点

，使得

注：闭的保证了存在性，凸集保证了唯一性。

空间的正交分解

定理12(正交分解定理)：设H是

空间，

是

中的闭子空间，则对于任意的

，存在唯一的

以及

，使得

并且

注1：

是

的真闭线性子空间，

，存在唯一的

使得

，这里

.

是

在

上的投影；

是

在

中最佳逼近点，

.

，其中

表示两个子空间的正交直接和。

最佳逼近，正交分解

正交系和正交投影

在

维欧氏空间，选定

个相互正交的向量

，则形成

维空间中的一组正交基，即在空间中建立了一组正交坐标系。

空间中任意一个元素都可以由这组坐标的线性组合表示：

其中，

是

在

上的投影。并且向量的长度：

内积空间中的正交系

先给出正交系和标准正交系的概念：

定义1：设

是内积空间

中的非零元素组成的集合。如果当

时，

，则称

是

中的一个正交系。若

称

是一个标准正交系。

正交投影

定理5：设

是内积空间

中的标准正交系，

是

个数，当且仅当

时，

取得最小值。

注1：

和

张成的子空间

正交。

注2：称

为

在

上的投影，

到

的距离为

。

Fourier 级数(分解)

定义8：设

是内积空间

中的标准正交系，对于

，我们称

为

关于

的Fourier级数，

为Fourier系数，即

在

上的正交投影。

Bessel 不等式和 Fourier 级数的收敛性

一般来说，内积空间中的正交系

可能是不可数集，下面仅讨论由可数(可列)多个元素组成的正交系。

定理9(Bessel 不等式)：设

是内积空间

中的标准正交列，则对于任意的

，有

注：与标准正交列相对应的Fourier系数(坐标)是平方可和的，其和小于或等于

。

定理10：设

是内积空间

中的标准正交列，则对于任意的

，有

由正项级数收敛的必要条件可知。

正交基和正交列的完备性

正交基

定义3：设

是

中的正交系，如果它张成的子空间的闭包是全空间

，则将

称为是

的正交基。

正交列的完备性

定义6：设

是内积空间，

是

中的标准正交列，

。若

称

关于

的 Parseval 等式成立。

如果对于任意的

， Parseval 等式成立，则称

是完备的。

注1：在二维欧氏空间中，Parseval 等式就是勾股定理。

注2：在

空间中，

关于

的 Fourier 级数收敛到

，当且仅当

关于

的 Parseval 等式成立。

可分的Hilbert空间

线性无关组的正交化算法

利用 Gram-Schmidt 正规正交化算法找到一组标准正交列。

正规正交化算法

可分的

空间与

等距同构

空间可分指的是空间中存在可数稠密子集。

定理1：一个无穷维的

空间一定包含一个标准正交列。

当内积空间完备时，我们有：

定理3：

是一个

空间，则

可分，当且仅当

中具有至多可数(可列)的标准正交基

。

如果

中元素个数

，则

等距同构于

，

是线性空间的数域；

如果

，则

等距同构于

空间。

注：任何一个无穷维可分的

空间都可以表示为“坐标形式”的

空间，即可分的内积空间中的每个元素都与一组由可数(可列)无穷有序数组组成的坐标一一对应。