内积空间定义
V是 F F F的线性空间的话，对于一种定义的内积运算(运算结果表示为 ( x , y ) , ( x , y ) ∈ F (x,y),(x,y)\in F (x,y),(x,y)∈F)，如果能满足四条性质，这个线性空间就是一个内积空间。
（1）共轭对称性： ( x , y ) = ( x , y ) ‾ (x,y) = \overline{(x,y)} (x,y)=(x,y)
（2）可加性： ( x + z , y ) = ( x , y ) + ( z , y ) (x+z,y) = (x,y)+(z,y) (x+z,y)=(x,y)+(z,y)
（3）齐次性： ( k x , y ) = k ( x , y ) (kx,y) = k(x,y) (kx,y)=k(x,y)
（4）正定性： ( x , x ) ≥ 0 (x,x)≥0 (x,x)≥0，当且仅当 x = θ x=\theta x=θ时候取等号
其中实内积空间称为欧几里得空间，复内积空间称为酉空间。酉空间维数=线性空间维数，酉空间的线性子空间仍然是酉空间。
度量矩阵
α 1 , . . . , α n \alpha_1,…,\alpha_n α1,...,αn为内积空间中的基，度量矩阵 A = ( α 1 , . . . , α n ) ′ ⋅ ( α 1 , . . . , α n ) = ( ( α 1 , α 2 ) ( α 1 , α 2 ) . . . ( α 1 , α n ) ( α 2 , α 1 ) . . . . . . ( α 2 , α n ) . . . . . . . . . . . . ( α n , α 1 ) . . . . . . ( α n , α n ) ) A =(\alpha_1,…,\alpha_n)’·(\alpha_1,…,\alpha_n) = \begin{pmatrix} (\alpha_1,\alpha_2) & (\alpha_1,\alpha_2) & … &(\alpha_1,\alpha_n)\\ (\alpha_2,\alpha_1) & …&… &(\alpha_2,\alpha_n) \\ …&…&…&… \\(\alpha_n,\alpha_1) & … &…& (\alpha_n,\alpha_n)\end{pmatrix} A=(α1,...,αn)′⋅(α1,...,αn)=⎝⎜⎜⎛(α1,α2)(α2,α1)...(αn,α1)(α1,α2).....................(α1,αn)(α2,αn)...(αn,αn)⎠⎟⎟⎞
（1）度量矩阵是复正定矩阵（复正定包含了厄米特矩阵）
（2）度量矩阵间合同
度量矩阵的意义
∣ G ( α 1 , . . . , α n ) ∣ |G(\alpha_1,…,\alpha_n)| ∣G(α1,...,αn)∣是k维超平行体体积的平方，2维空间中就是一个平行四边形的面积
柯西不等式
由柯西不等式有 − 1 ≤ ( α , β ) ∣ α ∣ ∣ β ∣ ≤ 1 -1≤\dfrac{(\alpha,\beta)}{|\alpha||\beta|}≤1 −1≤∣α∣∣β∣(α,β)≤1，可以定义向量夹角
< α , β > = a r c c o s ( α , β ) ∣ α ∣ ∣ β ∣ <\alpha,\beta>=arccos\dfrac{(\alpha,\beta)}{|\alpha||\beta|} <α,β>=arccos∣α∣∣β∣(α,β)
向量夹角取值 0 ≤ < α , β > ≤ π 0≤ <\alpha,\beta> ≤π 0≤<α,β>≤π
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