非对称加密算法–RSA加密原理

密码学是在编码与破译的斗争实践中逐步发展起来的,并随着先进科学技术的应用，已成为一门综合性的尖端技术科学。

密码学发展史

在说RSA加密算法之前， 先说下密码学的发展史。其实密码学的诞生，就是为了运用在战场，在公元前，战争之中出现了秘密书信。在中国历史上最早的加密算法的记载出自于周朝兵书《六韬.龙韬》中的《阴符》和《阴书》。在遥远的西方，在希罗多德（Herodotus）的《历史》中记载了公元前五世纪，希腊城邦和波斯帝国的战争中，广泛使用了移位法进行加密处理战争通讯信息。

早期的密码学一直没有什么改进，几乎都是根据经验慢慢发展的。直到20世纪中叶，由香农发表的《秘密体制的通信理论》一文，标志着加密算法的重心转移往应用数学上的转移。于是，逐渐衍生出了当今重要的三类加密算法：非对称加密、对称加密以及哈希算法（HASH严格说不是加密算法，但由于其不可逆性，已成为加密算法中的一个重要构成部分）。

1976年以前，所有的加密方法都是同一种模式：加密和解密使用同样规则（简称”密钥”），这被称为”对称加密算法”，使用相同的密钥，两次连续的对等加密运算后会回复原始文字，也有很大的安全隐患。

1976年，两位美国计算机学家Whitfield Diffie 和 Martin Hellman，提出了一种崭新构思，可以在不直接传递密钥的情况下，完成解密。这被称为”Diffie-Hellman密钥交换算法”。也正是因为这个算法的产生，人类终于可以实现非对称加密了：A给B发送信息

1. B要先生成两把密钥（公钥和私钥）。公钥是公开的，任何人都可以获得，私钥则是保密的。
2. A获取B的公钥，然后用它对信息加密。
3. B得到加密后的信息，用私钥解密。
   理论上如果公钥加密的信息只有私钥解得开，那么只要私钥不泄漏，通信就是安全的。
   
   

1977年，三位数学家Rivest、Shamir 和 Adleman 设计了一种算法，可以实现非对称加密。这种算法用他们三个人的名字命名，叫做RSA算法。从那时直到现在，RSA算法一直是最广为使用的”非对称加密算法”。毫不夸张地说，只要有计算机网络的地方，就有RSA算法。这种算法非常可靠，密钥越长，它就越难激活成功教程。根据已经披露的文献，目前被激活成功教程的最长RSA密钥是232个十进制位，也就是768个二进制位，因此可以认为，1024位的RSA密钥基本安全，2048位的密钥极其安全，当然量子计算机除外。

RSA算法的原理

下面进入正题，解释RSA算法的原理，其实RSA算法并不难，只需要一点数论知识就可以理解。

1. 素数：又称质数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。
2. 互质，又称互素。若N个整数的最大公因子是1，则称这N个整数互质。
3. 模运算即求余运算。“模”是“Mod”的音译。和模运算紧密相关的一个概念是“同余”。数学上，当两个整数除以同一个正整数，若得相同余数，则二整数同余。

欧拉函数

任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示。

• 计算8的欧拉函数，和8互质的 1、2、3、4、5、6、7、8
  φ(8) = 4
  如果n是质数的某一个次方，即 n = p^k (p为质数，k为大于等于1的整数)，则φ(n) = φ(p^k) = p^k – p^(k-1)。也就是φ(8) = φ(2^3) =2^3 – 2^2 = 8 -4 = 4

  
  
  
  

• 计算7的欧拉函数，和7互质的 1、2、3、4、5、6、7
  φ(7) = 6
  如果n是质数，则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。

  
  
  
  

• 计算56的欧拉函数
  φ(56) = φ(8) * φ(7) = 4 * 6 = 24
  如果n可以分解成两个互质的整数之积，即 n = p * k ，则φ(n) = φ(p * k) = φ(p1)*φ(p2)

  
  
  
  

欧拉定理：如果两个正整数m和n互质，那么m的φ(n)次方减去1，可以被n整除。

费马小定理：欧拉定理的特殊情况，如果两个正整数m和n互质，而且n为质数！那么φ(n)结果就是n-1。

模反元素

还剩下最后一个概念，模反元素：如果两个正整数e和x互质，那么一定可以找到整数d，使得 ed-1 被x整除，或者说ed被x除的余数是1。
那么d就是e相对于x的模反元素。

等式转换

1. 根据欧拉定理
   
   
   
2. 由于1^k ≡ 1，等号左右两边都来个k次方
   
   
   
3. 由于1* m ≡ m，等号左右两边都乘上m
   
   
   

m 的 e乘上d 次方为加密运算，得到结果 c
c 模以 n 为解密运算，得到结果 m
这似乎可以用于加密和解密。但这样，加密的结果会非常大。明文数据将非常小（虽然RSA用于加密的数据也很小，但是没这么大悬殊），真正的RSA要更加强大，那么RSA是怎么演变来的呢？？
早期很多数学家也停留在了这一步！直到1967年迪菲赫尔曼密钥交换打破了僵局！

迪菲赫尔曼密钥交换

• 服务器 随机数 15
  这个15只有服务器才知道。通过算法得到结果 6 因为 3的15次方 mod 17 = 6 。然后将结果 6 公开发送出去，拿到客户端的 12 ，然后用12^15 mod 17 得到结果10(10就是交换得到的密钥)
  
  
• 客户端 随机数13
  客户端用3 的 13次方 mod 17 = 12 然后将得到的结果12公布出去。
  拿到服务器的 6 ，然后用6^13 mod 17 得到结果10(10就是交换得到的密钥)

  
  
  
  

• 第三者
  第三者只能拿到6 和 12 ，因为没有私密数据13、15，所以它没法得到结果10。
  
  

RSA的诞生

现在我们知道了m^e % n = c是加密，c^d % n = m是解密，m就是原始数据，c是密文，公钥是n和e，私钥是n和d，所以只有n和e是公开的。加密时我们也要知道φ(n)的值，最简单的方式是用两个质数之积得到，别人想激活成功教程RSA也要知道φ(n)的值，只能对n进行因数分解，那么我们不想m被激活成功教程，n的值就要非常大，就是我们之前说的，长度一般为1024个二进制位，这样就很安全了。但是据说量子计算机(用于科研，尚未普及)可以激活成功教程，理论上量子计算机的运行速度无穷快，大家可以了解一下。

以上就是RSA的数学原理

检验RSA加密算法

OpenSSL进行RSA的命令运行

Mac可以直接使用OpenSSL，首先进入相应文件夹

• 生成公私钥

// 生成RSA私钥，文件名为private.pem，长度为1024bit openssl genrsa -out private.pem 1024 

// 从私钥中提取公钥 openssl rsa -in private.pem -pubout -out publick.pem 

// 查看刚刚生成好的私钥 cat private.pem 

// 查看刚刚生成好的公钥 cat publick.pem 

// 将私钥转换为明文 openssl rsa -in private.pem -text -out private.txt 

里面就是P1、P2还有KEY等信息。

• 对文件进行加密、解密

// 编辑文件message内容为hello Vincent!!! // 刚刚的public.pem写成了publick.pem(哎。。。) $ vi message.txt $ cat message.txt hello Vincent!!! // 通过公钥加密数据时，使用encrypt对文件进行加密 $ openssl rsautl -encrypt -in message.txt -inkey publick.pem -pubin -out enc.txt // 此时查看该文件内容为乱码 $ cat enc.txt j��E]֌a��d�kUE�&< ��I*��V/��pL[���ˋ�O�+�-�M��K�ܱ�&⪅ծO��2���o34�:�$���6��C�L��,b�'M�S�k�0���A��3%�[I���1�����ps"% // 通过私钥解密数据 $ openssl rsautl -decrypt -in enc.txt -inkey private.pem -out dec.txt // 已成功解密，正确显示文件内容 $ cat dec.txt hello Vincent!!! 

// 通过私钥加密数据时，要使用sign对文件进行重签名 $ openssl rsautl -sign -in message.txt -inkey private.pem -out enc.bin // 此时查看该文件内容同样为乱码 $ cat enc.bin {���Ew�3�1E��,8-OA2�Is�:���:�ԅ@MU����؜ �i1B���#��6���ׂm�D(�t#/��� �ہ�������ݬ>(�>�^@�C��3�ӸMQт�O% // 通过公钥解密数据 $ openssl rsautl -verify -in enc.bin -inkey publick.pem -pubin -out dec.bin // 已成功解密，正确显示文件内容 $ cat dec.bin hello Vincent!!! 

RSA用途及特点

到这里，大家都知道RSA通过数学算法来加密和解密，效率比较低，所以一般RSA的主战场是加密比较小的数据，比如对大数据进行对称加密，再用RSA给对称加密的KEY进行加密，或者加密Hash值，也就是数字签名。

关于RSA数字签名后面再慢慢阐述。该文章为记录本人的学习路程，希望能够帮助大家，也欢迎大家点赞留言交流！！！https://mp.csdn.net/mdeditor/#