测度、线性赋范空间、内积空间[通俗易懂]

全栈程序员-站长 • 2022年10月21日下午6:46 • 未分类 • 阅读 6

测度、线性赋范空间、内积空间[通俗易懂]测度、线性赋范空间、内积空间

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参考书籍
周民强. 实变函数论.第2版[M]. 北京大学出版社, 2008

王昆杨、孙永生. 泛函分析讲义第二版[M]. 北京师范大学出版社 2007

测度

总之，我们希望对一般 R^n 中的点集E给予一种度量，它是长度、面积以及体积的概念的推广。如果记点集E的这种度量为m(E),那么自然应要求它具有某些常见的性质或满足一定的条件。此时，称m(E)为E的测度，以 R^1 为例，我们提出：

1）m(E)>=0;

2)可合同的点集具有相同的测度；

3）令I=(a,b),则m(I)=b-a;

4）若 $E_1,E_2,\dots ,E_k,\dots$ 是互不相交的点集，则

$m(\sum _{i=1}^{\infty }E_i)=\sum _{i=1}^{\infty }m(E_i)$

线性赋范空间

给定K上的向量空间X,映射 $||.||:X \rightarrow R$ 叫做X上的范数，如果它满足条件

1）正定性：||x||>=0,||x||=0 $\Leftrightarrow$ x=0;

2)齐次性： $\forall \alpha \in K,x \in X$ ,有 $\left \| \alpha x \right \| =\left | \alpha \right |\left \| x \right \|$ ;

3)三角不等式： $\forall x,y\in X$ ,有 $\left \|x+y \right \| \leqslant \left \| x\right \|+\left \| y \right \|$ .

定义了范数的线性空间叫作线性赋范空间，记作（X,||.||).

内积空间

给定数域K(R或C)上的线性空间U, $U\times U \rightarrow K$ 的二元泛函（x,y)称为U上的内积，如果它满足：

1）正定性：（x,x)>=0,且 $(x,x)=0 \Leftrightarrow x=0$ ;

2）齐次性： $(\alpha x,y)=\alpha (x,y)$ ;

3)线性性：（x+y,z)=(x,z)+(y,z);

4)共轭性： $(x,y)=\overline {(x,y)}$ .

有内积的线性空间称为内积空间。

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