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GBDT基本思想

GBDT的基本结构是决策树组成的森林，学习方式是梯度提升。
具体的讲，GBDT作为集成模型，预测的方式是把所有子树的结果加起来。GBDT通过逐一生成决策子树的方式生成整个森林，生成新子树的过程是利用样本标签值与当前树林预测值之间的残差，构建新的子树。
例如，当前已经生成了3课子树了，则当前的预测值为D(x)=d1(x)+d2(x)+d3(x)，此时我们得到的当前的预测值为D(x)效果并不好，与真正的拟合函数f(x)还有一定的差距。GBDT希望的是构建第四棵子树，使当前树林的预测结果D(x)与第四棵树的预测结果d4(x)的之和，能在理论上逼近拟合函数f(x)。
所以，我们第四棵树的预测结果应该以拟合函数f(x)与当前树林的预测结果D(x)之差为目标，即d4(x)=f(x)-D(x)。在GBDT中，我们将r(x)=f(x)-D(x)叫做残差。理论上，如果我们能生成足够多的子树去拟合这个残差，那么我们得到的结果就可以无限接近于真实的结果。
在讲解GBDT算法之前，我们需要补充一些其他的知识，方便我们后续的理解。

补充知识

1前向分步算法

前向分布算法考虑这样一个问题：“给定一个训练数据集和损失函数，并且弱模型通过权重之和的方式组合成强模型，那么我们怎么来求这些弱模型以及最终的强模型？”
我们用数学化的语言描述一下上面的问题：
给定训练数据集T={(x₁, y₁),(x₂, y₂),…,(x_N, y_N)}和损失函数L(y, f(x))，f(x)是最终的强学习模型，因为弱模型通过权重之和的方式组合成强模型，所以f(x)可以如下表示：

其中b(x;γm)是弱学习模型，βm是弱学习模型的权重系数，γm是弱学习模型的参数。
所以前向分布算法考虑的问题是，如何求出所有的βm和γm，即优化如下目标表达式：

按照以往的思路，这里我们可以使用梯度下降法来对目标函数进行求解，但是对于这个式子而言，梯度下降法会变得十分困难，不易于计算。所以我们使用一种新的方法——前向分步算法来替代梯度下降法进行求解。前向分布算法给出的解决办法是：“利用贪心算法，每一步只学习一个弱模型及其系数，使得当前弱模型和之前所有的弱模型组合后目标表达式取得最优值，最终就可以使得所有弱模型组合后目标表达式取得最优值”

算法步骤

输入：训练数据集T={(x1, y1),(x2, y2),…,(xN, yN)}；损失函数L(y, f(x))
输出：强学习模型f(x)
(1)初始化f0(x)=0
(2)对m=1, 2 ,…, M
(a)极小化损失函数

(b)更新

(3)最终得到强学习模型f(x)

总之，提升方法告诉我们如何来求一个效果更好模型，那就是将多个弱模型组合起来，这仅仅是一个思路，而前向分布算法就具体告诉我们应该如何来做。

2提升树算法

如果前向分布算法中的基函数取决策树(一般默认使用CART树，因为它即可做回归也可以做分类)，那么该前向分布算法就可以称为提升树算法。针对不同的损失函数和树的类型，提升树有不同的用途，对于前向分布算法来说，当损失函数取指数损失，基函数取二叉分类树，前向分布算法就变成了用于分类的提升树算法; 当损失函数取平方损失，基函数取二叉回归树，前向分布算法就变成了用于回归的提升树算法；

用于分类的提升树算法

这里我就不再啰嗦了，就是将Adaboost算法中的基函数取二叉分类树，算法具体流程和Adaboost一样。

用于回归的提升树算法

前向分步算法中的基函数采用二叉回归树，损失函数采用平方损失，就得到了解决回归问题的提升树。
假设现在是前向分布算法的第 m 次迭代，当前模型为 f_m-1(x)，此时的弱模型未知，我们记为T(x；θ)，第m次迭代的目标是找到使得损失函数 L(yi, fm-1(xi) + T(xi；θ))取最小值的 T*(x；θ)，然后更新当前模型 f_m(x) = f_m-1(x) + T*(x；θ)。
因为损失函数采用的是平方损失，所以有：
L(y_i, f_m-1(xi) + T(x_i；θ)) = (y_i – f_m-1(x_i) -T(x_i；θ))² = ( r – T(x_i；θ))²
其中 r = yi – fm-1(xi) ，这是当前模型拟合数据的残差。从上面的表达式可以看出弱模型T(xi；θ)的预测值越是接近r，损失L的值就越小，所以说每一次迭代过程的弱模型 T(xi；θ) 只需拟合当前模型的残差就可以了，但这只限于损失函数取平方损失的时候。

算法步骤

关于拟合残差，举个简单的栗子

举个栗子：
A、B、C、D四个人的真实年龄分别为14、16、24、26，现在利用提升算法对这四个人的年龄做预测。

第一轮：
初始模型F₀(x)取值为常数，这个常数为样本的均值时目标函数能取最小值。
所以F₀(x) = 20，即A、B、C、D的预测年龄为20、20、20 、20。
所以得到每个人的年龄预测残差为 -6、-4、4、6，然后用残差数据去拟合一个基函数f1(x)，我们就可以得到一个新的模型F₁(x) = F₀(x) + f₁(x)，假设这个基函数 f₁(x) 对于残差数据的预测值为 -5、-4、3、6。

第二轮：
模型 F₁(x) 的预测值为15(20-5)、16(20-4)、23(20+3)、26(20+6)，
所以得到每个人的年龄预测残差为 -1、0、1、0，然后用残差数据去拟合一个基函数f₂(x)，我们就可以得到一个新的模型F₂(x) = F₀(x) + f₁(x) + f₂(x) ，其中这个基函数 f₂(x) 对于残差数据的预测值为 -1、0、1、0。
此时，F₂(x)已经可以完全预测准确了，它的预测结果是 14(20-5-1)、16(20-4-0)、24(20+3+1)、26(20+6+0)。

3梯度提升算法

当前向分布算法中的损失函数取平方损失或者指数损失，我们都有比好的优化方法，其中指数损失我们可以采用Adaboost算法，平方损失我们采用拟合当前模型残差的方法，那如果损失函数是其它类型的函数呢？针对这个问题，freidman提出了梯度提升，其关键是用损失函数L( yi, fm-1(xi)) 对 当前模型 fm-1(xi) 的 负梯度值作为残差的近似值，所以可以将该负梯度值称为伪残差。
可以这样来想，假设目前损失函数取平方损失函数，即

该平方损失函数L( yi, fm-1(xi)) 对 当前模型 fm-1(xi) 的梯度值为:

也就是说，损失函数取平方损失的时候，负的梯度值就是当前模型的残差，所以当损失函数取其它函数的时候，我可以用负梯度值作为当前模型残差的近似值。

GBDT算法流程

现在我们将梯度提升算法和回归问题的提升树算法进行一个融合，就可以得到GBDT的算法了。
GBDT既可以用来处理回归问题，也可以用来处理分类问题，当梯度提升算法的基函数取二叉回归树，该梯度提升算法就可以称之为GBDT，注意不管GBDT是做回归还是做分类，它的基函数一直都是二叉回归树(默认采用CART回归树)。


如上所述，GBDT之所以分类和回归都取二叉回归树，大概是因为二叉回归树叶子结点的权值比较好求出来吧(上述算法流程的倒数第二步)，只要叶子节点的权值求出来，该二叉回归树(误差率最小)就算是求出来了。