学习笔记——机器学习–多项式分布及Softmax回归模型推导[通俗易懂]

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  在一个多分类问题，预测变量$y$可以取$k$个离散值中的任何一个，即$y\in \{1,2,\cdots ,k\}$。

例如：在一个邮件分类系统将邮件分为私人邮件，工作邮件和垃圾邮件。由于$y$仍然是一个离散值，这种多分类问题，二分类模型在这里不太适用。

  多分类问题符合多项分布。有许多算法可用于解决多分类问题，像决策树、朴素贝叶斯等。本文主要讲解多分类算法中的Softmax回归（Softmax Regression)

推导思路为：首先证明多项分布属于指数分布族，这样就可以使用广义线性模型来拟合这个多项分布，由广义线性模型推导出的目标函数${{h}_{\theta }}(x)$即为Softmax回归的分类模型。

多项式分布属于指数分布族的推导

  下面将根据多项式分布建模。考虑样本共有$k$类，每一类的概率分别为${{\phi }_{1}},\cdots ,{{\phi }_{k}}$，由于$\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\phi }_{i}}}=1$，所以通常我们只需要$k-1$个参数即${{\phi }_{1}},\cdots ,{{\phi }_{k-1}}$。
$\begin{align} & P(y=i;\phi )={{\phi }_{i}} \ & P(y=k;\phi )=1-\sum\limits_{i=1}^{k-1}{{{\phi }_{i}}} \ \end{align}$
为了推导方便，引入表达式：
$T(1)=\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\\end{matrix} \right],\ T(2)=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\\end{matrix} \right],\ \cdots ,\ T(k-1)=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\\end{matrix} \right],\ \ T(k)=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\\end{matrix} \right]$

  上面$T(y)$是$k-1$维列向量,其中$y=1,\ 2,\ \cdots ,\ k$；$T{{(y)}_{i}}$表示向量$T(y)$的第$i$个元素。

  还要引入表达式$1\{\cdot \}$ ,如果大括号里面为真，则真个表达式就为1，否则为0。

$$1\{\ ture\}=1\ \ ;\ \ 1\{\ false\ \}=0$$

例如：1{2=3} = 0和1{3=3} = 1.

则上面的

k  k
$k$个向量就可以表示为：

$$T{{(y)}_{i}}=1\{\ y=i\ \}$$

因为

y  y
$y$只能属于某一个类别，于是


T(y) 

$T(y)$
$T(y)$中只能有一个元素为1其他元素都为0，可以求出

k−1  k − 1
$k-1$个元素的期望：

$$E[T{{(y)}_{i}}]=\sum\limits_{y=1}^{k}{T{{(y)}_{i}}{{\phi }_{i}}}=\sum\limits_{y=1}^{k}{1(y=i){{\phi }_{i}}}={{\phi }_{i}}$$

即：

$$E[T{{(y)}_{i}}]=P(y=i)={{\phi }_{i}}$$

多项式分布表达式转为指数分布族表达式推导过程如下：

$$\begin{align} & P(y;\phi )=\phi _{1}^{1\{y=1\}}\phi _{2}^{1\{y=2\}}\cdots \phi _{k}^{1\{y=k\}} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\phi _{1}^{T{{(y)}_{1}}}\phi _{2}^{T{{(y)}_{2}}}\cdots \phi _{k-1}^{T{{(y)}_{k-1}}}\cdot \phi _{k}^{T{{(y)}_{k}}} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\phi _{1}^{T{{(y)}_{1}}}\phi _{2}^{T{{(y)}_{2}}}\cdots \phi _{k-1}^{T{{(y)}_{k-1}}}\cdot \phi _{k}^{1-\sum\limits_{i=1}^{k-1}{T{{(y)}_{i}}}} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\exp \left( T{{(y)}_{1}}\log {{\phi }_{1}}+\cdots +(1-\sum\limits_{i=1}^{k-1}{T{{(y)}_{i}}})\log {{\phi }_{k}} \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\exp (T{{(y)}_{1}}\log \frac{{{\phi }_{1}}}{{{\phi }_{k}}}+T{{(y)}_{2}}\log \frac{{{\phi }_{2}}}{{{\phi }_{k}}}+\cdots +T{{(y)}_{k-1}}\log \frac{{{\phi }_{k-1}}}{{{\phi }_{k}}}+\log {{\phi }_{k}}) \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =b(y)\exp ({{\eta }^{T}}T(y)-a(\eta )) \\ \end{align}$$

其中

$$\eta =\left[ \begin{matrix} \log \frac{{{\phi }_{1}}}{{{\phi }_{k}}} \\ \log \frac{{{\phi }_{2}}}{{{\phi }_{k}}} \\ \vdots \\ \log \frac{{{\phi }_{k-1}}}{{{\phi }_{k}}} \\\end{matrix} \right]\in {{R}^{k-1}},\ \ a(\eta )=-\log ({{\phi }_{k}}),\ \ b(y)=1$$

  多项分布可以表示为指数分布的格式，所以它属于指数分布族，那么就可以用广义线性模型来拟合这个多项式分布模型。

Softmax函数（Softmax Function）

  在使用广义线性模型拟合这个多项式分布模型之前，需要先推导一个函数，这个函数在广义线性模型的目标函数中会用到。这个函数称为Softmax函数（Softmax Function）。
由$\eta$表达式可得：

$${{\eta }_{i}}=\log \frac{{{\phi }_{i}}}{{{\phi }_{k}}}$$

这是

η i   η i
${{\eta }_{i}}$关于

ϕ i   ϕ i
${{\phi }_{i}}$的表达式，把它转化为

ϕ i   ϕ i
${{\phi }_{i}}$关于

η i   η i
${{\eta }_{i}}$的表达式过程为：

$${{e}^{{{\eta }_{i}}}}=\frac{{{\phi }_{i}}}{{{\phi }_{k}}}\ \ \Rightarrow \ \ {{\phi }_{k}}{{e}^{{{\eta }_{i}}}}={{\phi }_{i}}\ \ \Rightarrow \ {{\phi }_{k}}\sum\limits_{i=1}^{k}{{{e}^{{{\eta }_{i}}}}}=\ \sum\limits_{i=1}^{k}{{{\phi }_{i}}}=1$$

所以

$${{\phi }_{k}}=\frac{1}{\sum\limits_{i=1}^{k}{{{e}^{{{\eta }_{i}}}}}}$$

代入上面式子，所以

$${{\phi }_{i}}=\frac{{{e}^{{{\eta }_{i}}}}}{\sum\limits_{j=1}^{k}{{{e}^{{{\eta }_{j}}}}}}$$

此函数称为
Softmax函数（Softmax Function）。

使用广义线性构建模型

  根据广义线性模型的假设3:

$${{\eta }_{i}}=\theta _{i}^{T}x\ \ (i=1,\ \ldots ,k-1)$$

由假设2可得

$$\begin{align} & {{h}_{\theta }}(x)=E[T(y)\left| x \right.;\theta ]=E\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 1\{y=1\} \\ 1\{y=2\} \\ \vdots \\ 1\{y=k-1\} \\\end{matrix} & \left| x;\theta \right. \\\end{matrix} \right] \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left[ \begin{matrix} {{\phi }_{1}} \\ {{\phi }_{2}} \\ \vdots \\ {{\phi }_{k-1}} \\\end{matrix} \right]\ =\left[ \begin{matrix} \frac{\exp (\theta _{1}^{T}x)}{\sum\limits_{j=1}^{k}{\exp (\theta _{j}^{T}x)}} \\ \frac{\exp (\theta _{2}^{T}x)}{\sum\limits_{j=1}^{k}{\exp (\theta _{j}^{T}x)}} \\ \vdots \\ \frac{\exp (\theta _{k-1}^{T}x)}{\sum\limits_{j=1}^{k}{\exp (\theta _{j}^{T}x)}} \\\end{matrix} \right] \\ \end{align}$$

就是输出了

x∈{
1,2,⋯,k−1}  x ∈ { 1 , 2 , ⋯ , k − 1 }
$x\in \{1,2,\cdots ,k-1\}$中每一类的概率，当然属于第

k  k
$k$类的概率就是：


1−∑ i=1 k−1 ϕ i  

$1-\sum _{i=1}^{k-1}{\varphi }_i$
$1-\sum\limits_{i=1}^{k-1}{{{\phi }_{i}}}$.

  下面开始拟合参数，同样使用最大化参数θ的对数似然函数：

$$\begin{align} & l(\theta )=\sum\limits_{i=1}^{m}{\log P({{y}^{(i)}}\left| {{x}^{(i)}};\theta \right.)} \\ & \ \ \ \ \ \ \ =\sum\limits_{i=1}^{m}{\log \prod\limits_{l=1}^{k}{\frac{{{e}^{\theta _{l}^{T}{{x}^{(i)}}}}}{\sum\limits_{j=1}^{k}{{{e}^{\theta _{j}^{T}{{x}^{(i)}}}}}}}} \\ \end{align}$$

接下来使用梯度下降和牛顿法均可。