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本次博客参考了：http://blog.csdn.net/left_la/article/details/9159949
感谢原博主简明扼要的概括以及matlab代码提供！
1-范数（列和范数）
∥A∥1=maxj∑mi=1∣∣aij∣∣
将矩阵沿列方向取绝对值求和，然后擢选出数值最大的那个值作为1-范数。
比如：
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> norm_1 = norm(A,1)
norm_1 =
18第一列求和结果为：|1|+|4|+|7|=12
第二列求和结果为：|2|+|5|+|8|=15
第三列求和结果为：|3|+|6|+|9|=18
里面最大的就是18，因此矩阵A的列和范数为18。
2-范数（ A∗A 最大特征值开方）
∥A∥2=λ1−−√
这一部分涉及到的我不懂的概念比较多，接下来一一说明。
2-1 共轭转置矩阵
A∗ 指的是A的共轭转置矩阵，也有 AH 这个写法。如果A里面全是实数，那效果就与 AT 无二；如果A里面也有复数，则是先对A取共轭（各项实部不变，虚部取相反数），然后再转置，比如：
A =
1.0000 + 0.0000i 0.0000 - 2.0000i
3.0000 + 0.0000i 0.0000 - 4.0000i
>> A'
ans =
1.0000 + 0.0000i 3.0000 + 0.0000i
0.0000 + 2.0000i 0.0000 + 4.0000i在matlab中A’的意思就是求共轭转置矩阵。
2-2 特征值
矩阵A的特征值被定义为： A v⃗ =λ v⃗
其中 v⃗ 被称为“矩阵A的特征向量”，λ被称为“矩阵A的特征值”。
在matlab中求解矩阵A的特征值方法如下：
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> [V,D] = eig(A)
V =
-0.2320 -0.7858 0.4082 -0.5253 -0.0868 -0.8165 -0.8187 0.6123 0.4082
D =
16.1168 0 0
0 -1.1168 0
0 0 -0.0000矩阵V的每一列都是一个特征向量，D中对应列中的值即与该特征向量相匹配的特征值。以上例V、D第一列为例，此时特征值λ=16.1168，特征向量 v⃗ =[−0.2320,−0.5253,−0.8187]T ，用matlab作验证如下：
>> A = [1,2,3;4,5,6;7,8,9]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> v = [-0.2320,-0.5253,-0.8187]'
v =
-0.2320 -0.5253 -0.8187
>> lambda = 16.1168
lambda =
16.1168
>> A * v
ans =
-3.7387 -8.4667 -13.1947
>> lambda * v
ans =
-3.7391 -8.4662 -13.1948可知满足 A v⃗ =λ v⃗ 。
2-3 矩阵的2-范数
矩阵的2-范数即对矩阵 A∗A 最大特征值 λ1 开方，如下：
>> [V,D] = eig(A'*A)
V =
-0.4082 -0.7767 0.4797 0.8165 -0.0757 0.5724
-0.4082 0.6253 0.6651
D =
0.0000 0 0
0 1.1414 0
0 0 283.8586
>> sqrt(283.8586)
ans =
16.8481（这里最大特征值为283.8586）
当然，matlab中也有更直接的计算矩阵2-范数的方法，如下：
>> norm_2 = norm(A,2) norm_2 = 16.8481两种方法计算出的结果是一样的。
∞-范数（行和范数）
∥A∥∞=maxi∑nj=1∣∣aij∣∣
和1-范数（列和范数）类似，这里是沿行方向取绝对值求和，将最大的那个值作为矩阵的∞-范数。matlab代码如下：
>> A
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> norm(A,inf)
ans =
24第一行求和结果为：|1|+|2|+|3|=6
第二行求和结果为：|4|+|5|+|6|=15
第三行求和结果为：|7|+|8|+|9|=24
里面最大的就是24，因此矩阵A的行和范数为24。
2016.9.27
by 悠望南山
发布者：全栈程序员-站长，转载请注明出处：https://javaforall.net/191764.html原文链接：https://javaforall.net
