克莱姆法则应用_克莱姆和克拉默法则

全栈程序员-站长 • 2025年11月3日下午11:01 • 未分类 • 阅读 4

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克莱姆法则（由线性方程组的系数确定方程组解的表达式）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理，它适用于变量和方程数目相等的线性方程组。

概念

含有n个未知数的线性方程组称为n元线性方程组。
1）当其右端的常数项b1,b2,…,bn不全为零时，称为非齐次线性方程组：

其中，A是线性方程组的系数矩阵，X是由未知数组成的列向量，β是由常数项组成的列向量。
非齐次线性方程组的矩阵形式：

2）当常数项全为零时，称为齐次线性方程组，即：

其矩阵形式：

3）系数构成的行列式称为该方程组的系数行列式D，即
在这里插入图片描述

定理

记法1：若线性方程组的系数矩阵A可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0。有唯一解，其解为

记法2：若线性方程组的系数矩阵A可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0，则线性方程组有唯一解，其解为

其中Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式，即
在这里插入图片描述
记法1是将解写成矩阵（列向量）形式，而记法2是将解分别写成数字，本质相同。

推论

1）n元齐次线性方程组有唯一零解的充要条件是系数行列式不等于零，系数矩阵可逆（矩阵可逆=矩阵非奇异=矩阵对应的行列式不为0=满秩=行列向量线性无关）；
2）n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零。

法则总结

1.克莱姆法则的重要理论价值：
1）研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系；
2）与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值。（一般没有计算价值，计算量较大，复杂度太高）
2.应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解：
1）当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解；
2）如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零；
3）克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。
3.克莱姆法则的局限性：
1）当方程组的方程个数与未知数的个数不一致时，或者当方程组系数的行列式等于零时，克莱姆法则失效；
2）运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。

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