matlab 正交多项式,常用正交多项式

三个有关正交的概念

如果

我们称函数

与

在区间

上正交；一般我们会这么记录：

如果

称函数

与

在区间

上带权

正交；

如果有一个”多项式”序列

(每一项

就表示一个k次多项式)，如果这个多项式序列所有元素满足下面的规律：

我们称

为在区间

上带权

的”正交多项式序列”；序列中的每一个元素，我们可以叫它”一个正交多项式”！

常用的正交多项式序列

关于正交多项式序列细节的内容不提，偏重它们的性质和使用。总结一句正交多项式序列最重要的性质：2个序号不同多项式，乘积后特定区间积分为0；2个序号相同多项式(就是同一个)，乘积后特定区间积分不为0。一般我们常用的正交多项式序列如下，并给出其多项式递推公式：

勒让德(Legende)正交多项式序列

；

切比雪夫(Chebyshev)正交多项式序列

；

第二类切比雪夫(Chebyshev)正交多项式序列

；

拉盖尔(Laguerre)正交多项式序列

；

埃尔米特(Hermite)正交多项式序列

；

罗巴特(Lobatto)正交多项式序列

；

勒让德正交多项式序列

勒让德相邻3项递推公式：

说明：勒让德正交多项式序列中，任意两个元素都是区间

上带权

正交。

规律：

用matlab编程求每个正交多项式：

clear; clc;

syms x;

P_orig0 = 1;

P_orig1 = x;

P = sym(zeros(1,5)); % 记录前5个多项式

% 勒让德正交多项式序列前5项求取

for n = 1:5

Pn = simplify( x*(2*n+1)/(n+1)*P_orig1 – n/(n+1)*P_orig0 )

P_orig0 = P_orig1;

P_orig1 = Pn;

P(n) = Pn;

end

% 下面是测试任意两个元素是否有正交关系

for m = 1:4

equal = int( P(m)*P(m), x, -1, 1 )

inequal = int( P(m)*P(m+1), x, -1, 1 ) % 随便改, 只要两个不相等

end

切比雪夫正交多项式序列

切比雪夫相邻3项递推公式：

说明：切比雪夫正交多项式序列中，任意两个元素都是区间

上带权

正交。

规律：

用matlab编程求每个正交多项式：

clear; clc;

syms x;

T_orig0 = 1;

T_orig1 = x;

T = sym(zeros(1,5)); % 记录前5个多项式

% 切比雪夫正交多项式序列前5项求取

for n = 1:5

Tn = simplify( 2*x*T_orig1 – T_orig0 )

T_orig0 = T_orig1;

T_orig1 = Tn;

T(n) = Tn;

end

% 下面是测试任意两个元素是否有正交关系

for m = 1:4

T_equal = T(m)*T(m)/(sqrt(1-x^2));

equal = int( T_equal, x, -1, 1 ) % 都是pi或pi/2

T_inequal = T(m)*T(m+1)/(sqrt(1-x^2));

inequal = int( T_inequal, x, -1, 1 ) % 都是0

end

第二类切比雪夫正交多项式序列

切比雪夫相邻3项递推公式：

说明：第二类切比雪夫正交多项式序列中，任意两个元素都是区间

上带权

正交。

规律：

用matlab编程求每个正交多项式：

clear; clc;

syms x;

U_orig0 = 1;

U_orig1 = 2*x;

U = sym(zeros(1,5)); % 记录前5个多项式

% 第二类切比雪夫正交多项式序列前5项求取

for n = 1:5

Un = simplify( 2*x*U_orig1 – U_orig0 )

U_orig0 = U_orig1;

U_orig1 = Un;

U(n) = Un;

end

% 下面是测试任意两个元素是否有正交关系

for m = 1:4

U_equal = U(m)*U(m)*sqrt(1-x^2);

equal = int( U_equal, x, -1, 1 ) % 都是pi/2

U_inequal = U(m)*U(m+1)*sqrt(1-x^2);

inequal = int( U_inequal, x, -1, 1 ) % 都是0

end

拉盖尔正交多项式序列

拉盖尔相邻3项递推公式：

说明：拉盖尔正交多项式序列中，任意两个元素都是区间

上带权

正交。

规律：

用matlab编程求每个正交多项式：

syms x;

L_orig0 = 1;

L_orig1 = 1-x;

L = sym(zeros(1,5)); % 记录前5个多项式

% 拉盖尔正交多项式序列前5项求取

for n = 1:5

Ln = simplify( (2*n+1-x)*L_orig1 – n^2*L_orig0 )

L_orig0 = L_orig1;

L_orig1 = Ln;

L(n) = Ln;

end

% 下面是测试任意两个元素是否有正交关系

for m = 1:4

L_equal = L(m)*L(m)*exp(-x);

equal = int( L_equal, x, 0, +inf ) % (n!)^2

L_inequal = L(m)*L(m+1)*exp(-x);

inequal = int( L_inequal, x, 0, +inf ) % 都是0

end

埃尔米特正交多项式序列

埃尔米特相邻3项递推公式：

说明：埃尔米特正交多项式序列中，任意两个元素都是区间

上带权

正交。

规律：

用matlab编程求每个正交多项式：

clear; clc;

syms x;

H_orig0 = 1;

H_orig1 = 2*x;

H = sym(zeros(1,5)); % 记录前5个多项式

% 埃尔米特正交多项式序列前5项求取

for n = 1:5

Hn = simplify( 2*x*H_orig1 – 2*n*H_orig0 )

H_orig0 = H_orig1;

H_orig1 = Hn;

H(n) = Hn;

end

% 下面是测试任意两个元素是否有正交关系

for m = 1:4

H_equal = H(m)*H(m)*exp(-x^2);

equal = int( H_equal, x, -inf, +inf ) % 2^n*n!*sqrt(pi)

H_inequal = H(m)*H(m+1)*exp(-x^2);

inequal = int( H_inequal, x, -inf, +inf ) % 都是0

end

罗巴特正交多项式序列

说明：罗巴特正交多项式序列是基于”勒让德多项式序列”推导而来的！所以其很多性质是继承勒让德正交多项式的。罗巴特每一项公式：

说明：

罗巴特正交多项式序列中，任意两个元素都是区间

上带权

正交；

罗巴特正交多项式第0项为：

。该项就不在程序中显示了。

规律：

用matlab编程求每个正交多项式：借用勒让德的各个多项式

clear; clc;

syms x;

P_orig0 = 1;

P_orig1 = x; % 勒让德的前两项

L = sym(zeros(1,5)); % 记录前罗巴特正交多项式

for n = 1:5

Pn = simplify( x*(2*n+1)/(n+1)*P_orig1 – n/(n+1)*P_orig0 ); % 勒让德多项式

L(n) = diff(Pn,x,1) % 罗巴特多项式√√

P_orig0 = P_orig1; % 勒让德更新

P_orig1 = Pn;

end

% 下面是测试任意两个元素是否有正交关系

for m = 1:4

L_equal = L(m)*L(m)*(1-x^2);

equal = int( L_equal, x, -1, 1 ) % 都是2(m+1)(m+2)/(2m+3)

L_inequal = L(m)*L(m+1)*(1-x^2);

inequal = int( L_inequal, x, -1, 1 ) % 都是0

end