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一。 Γ \Gamma Γ分布
指数分布是两次事件发生的时间间隔
Γ \Gamma Γ分布是n倍的指数分布
即， Γ \Gamma Γ分布表示发生n次（ α \alpha α次）事件的时间间隔的概率分布。
其实 Γ \Gamma Γ分布 就是Possion分布在正实数集上的连续化版本
P o s s i o n ( X = k ∣ λ ) = λ k e − λ k ! Possion(X=k|\lambda )=\frac{\lambda ^ke^{-\lambda} }{k!} Possion(X=k∣λ)=k!λke−λ
可以看做横坐标是k，纵坐标便是X=k的概率分布： P o s s i o n ( X = k ∣ λ Possion(X=k|\lambda Possion(X=k∣λ)， λ \lambda λ为一个常数，代表单位时间内事件发生的次数。
回忆一下Poisson分布的直观含义：
随机变量X代表出生婴儿的个数，P {X=k} 代表出生k个婴儿的概率，
λ \lambda λ为已知数，代表平均单位时间出生婴儿的个数。
求t时间内出生k个婴儿的概率：P {X=k} ，令t=1，就是
这个公式 P o s s i o n ( X = k ∣ λ ) = λ k e − λ k ! Possion(X=k|\lambda )=\frac{\lambda ^ke^{-\lambda} }{k!} Possion(X=k∣λ)=k!λke−λ
因此Possion公式的直观意义就是：
已知单位时间内平均出生 λ \lambda λ个婴儿， 得到单位时间内出生k个婴儿的概率。
如果将k看成是一个变量， Possion公式就是单位时间内出生婴儿个数的概率分布。
直观理解，当然是单位时间出生 λ \lambda λ个婴儿的概率最大。
在 P o i s s o n 分 布 中 ， λ 是 一 个 已 知 数 ， 是 一 个 常 数 ， {\color{Red}{ 在Poisson分布中，\lambda 是一个已知数，是一个常数，}} 在Poisson分布中，λ是一个已知数，是一个常数，
如 果 我 们 把 λ 看 成 一 个 变 数 ， 假 设 是 x {\color{Red}{如果我们把\lambda看成一个变数，假设是x}} 如果我们把λ看成一个变数，假设是x
那 么 得 到 的 分 布 就 叫 G a m m a 分 布 {\color{Red}{那么得到的分布就叫Gamma分布}} 那么得到的分布就叫Gamma分布，显然Gamma比Poisson更高一维的分布。
= > 将 λ 转 为 一 个 连 续 实 数 x {\color{Red}{=> 将 \lambda 转为一个连续实数 x}} =>将λ转为一个连续实数x
在Gamma分布的密度中取 α = k + 1 \alpha =k+1 α=k+1，得
G a m m a ( x ∣ α = k + 1 ) = x k e − x Γ ( k + 1 ) = x k e − x k ! Gamma(x|\alpha =k+1)=\frac{x^{k} e^{-x} }{\Gamma (k+1)} = \frac{x^k e^{-x } }{k!} Gamma(x∣α=k+1)=Γ(k+1)xke−x=k!xke−x
G a m m a ( x , k ) = x k e − x k ! Gamma(x,k) = \frac{x^k e^{-x } }{k!} Gamma(x,k)=k!xke−x
由此可见，Gamma函数是一个关于x和k的二维概率分布。x是单位时间内事件发生的平均次数，k是单位时间内事件发生的某一特定次数，得到类似于下图，可见，它是一个指数分布，k与越接近，概率越大，在k与x相等的地方，概率达最大值。（如果将x固定一个常数，就是Poisson分布。）
所以，Gamma分布与Possion分布在数学形式上是一致的，只是Poisson分布是离散的，Gamma分布是连续的，可以直观的认为Gamma分布是Poission分布在正实数集上的连续化版本。
二。 Γ \Gamma Γ函数
定义
Γ ( s ) = ∫ 0 + ∞ e − x x s − 1 d x ( s > 0 ) \Gamma (s)=\int_{0}^{+\infty }e^{-x}x^{s-1}dx(s>0) Γ(s)=∫0+∞e−xxs−1dx(s>0)
性质
- s>0时，此反常积分收敛
- Γ ( s + 1 ) = s Γ ( s ) ( s > 0 ) \Gamma(s+1)=s\Gamma(s) (s>0) Γ(s+1)=sΓ(s)(s>0)，特别 Γ ( n + 1 ) = n ! \Gamma(n+1)=n! Γ(n+1)=n!
3)当 s → 0 + s\to0+ s→0+时， Γ ( s ) → + ∞ \Gamma(s) \to +\infty Γ(s)→+∞ - Γ ( s ) Γ ( 1 − s ) \Gamma(s)\Gamma(1-s) Γ(s)Γ(1−s)= π s i n π s ( 0 < s < 1 ) , 则 Γ ( 1 2 ) = π \frac{\pi }{sin\pi s} (0<s<1), 则\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} sinπsπ(0<s<1),则Γ(21)=π
$\Gamma(n) = (n-1)! $ ， Gamma(5+1) = 5! =120
$\Gamma(s) = (s-1)! $ ， 5Gamma(5) = 54! =120
三。 Γ \Gamma Γ函数应用
k ! = ∫ 0 ∞ x k e − x d x k!=\int_{0}^{\infty }x^ke^{-x}dx k!=∫0∞xke−xdx
在 Γ ( s ) = ∫ 0 ∞ x s − 1 e − x d x \Gamma(s)=\int_{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-x}dx Γ(s)=∫0∞xs−1e−xdx 中，
作x=u^2的代换可得
Γ ( s ) = 2 ∫ 0 ∞ e − u 2 u 2 s − 1 d u \Gamma (s)=2\int_{0}^{\infty }e^{-u^2}u^{2s-1}du Γ(s)=2∫0∞e−u2u2s−1du
再令 t=2s-1，即有
∫ 0 ∞ e − u 2 u t d u \int_{0}^{\infty }e^{-u^2}u^{t}du ∫0∞e−u2utdu = 1 2 Γ ( 1 + t 2 ) \frac{1}{2}\Gamma(\frac{1+t}{2}) 21Γ(21+t), t>-1
特别，令 s = 1 2 s=\frac{1}{2} s=21， 可得概率论中常用积分
泊松积分
泊松积分： ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π \int_{-\infty}^{\infty }e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi} ∫−∞∞e−x2dx=π 是一个很重要的结论，在概率论中有重要应用。
∫ 0 ∞ e − x 2 d x = π 2 \int_{0}^{\infty }e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2} ∫0∞e−x2dx=2π
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π \int_{-\infty}^{\infty }e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi} ∫−∞∞e−x2dx=π
（可以用正态分布的公式证明，正态分布公式 Φ ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e − t 2 2 d t = 1 \Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=1 Φ(x)=2π1∫−∞∞e−2t2dt=1）
参考链接：
Gamma分布Wiki百科
poisson-gamma-exponential 泊松-Gamma以及指数分布的关系
Gamma distribution in R语言
MATLAB Gamma
神奇的Gamma函数（scipy）
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