切比雪夫不等式
假设随机变量 X 的期望
μ
P(|x−μ|>ϵ)≤σ2ϵ2
从不等式本身的意义来看， 它用随机变量的期望与方差给出了长尾概率的范围。例如，对于正态分布 X∼N(0,σ) 来说， x 大于
3σ
现在来推导一下这个不等式。需要用到Markov不等式
Markov 不等式
假设 X 是一个不小于0的随机变量， 则：
P(X>a)≤E(X)a
证明过程如下：
E(X)=∫∞0xp(x)dx=∫a0xp(x)dx+∫∞axp(x)dx≥∫∞axp(x)dx≥a∫∞ap(x)dx=aP(X>a)
这个不等式只使用了随机变量的期望就给出了长尾分布的概率范围，但很明显， 太粗放了， 几乎不能提供有用信息。例如，假如人口年龄分布是一个在 [0,80] 之间的均匀分布（只是假如， 不是实际情况），随机锁定一个人， 他的年龄大于1岁的概率 P(X>1)<40 ，囧。大于40的概率： P(X>40)≤1 , 再囧。
进一步就得到了切比雪夫不等式
P(|x−μ|>ϵ)=P(|x−μ|2>ϵ2)≤E(|x−μ|2)ϵ2=σ2ϵ2
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