算法讲解：二分图匹配【图论】

二分图匹配，自然要先从定义入手，那么二分图是什么呢？

二分图：

二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。

简单的说，一个图被分成了两部分，相同的部分没有边，那这个图就是二分图，二分图是特殊的图。

匹配：

注意匈牙利算法，除了二分图多重匹配外在二分图匹配中都可以使用。

注：二分图匹配中还有一个hk算法，复杂度为o（sqrt（n）*e）由于复杂度降低较低，代码量飙升而且绝大多数情况下没人会闲的卡个sqrt的复杂度。。在此先不讲了，有兴趣可以自己百度，貌似卡这个算法的只有hdu2389

嘛 首先我们讲解一下匈牙利算法的过程：

匈牙利算法：

匈牙利算法几乎是二分图匹配的核心算法，除了二分图多重匹配外均可使用

匈牙利算法实际上就是一种网络流的思想，其核心就是寻找增广路。具体操作就是嗯。。拉郎配

注：以下转自 http://blog.csdn.net/dark_scope/article/details/

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

——-等等，看得头大？那么请看下面的版本：

通过数代人的努力，你终于赶上了剩男剩女的大潮，假设你是一位光荣的新世纪媒人，在你的手上有N个剩男，M个剩女，每个人都可能对多名异性有好感（-_-||暂时不考虑特殊的性取向），如果一对男女互有好感，那么你就可以把这一对撮合在一起，现在让我们无视掉所有的单相思（好忧伤的感觉），你拥有的大概就是下面这样一张关系图，每一条连线都表示互有好感。

本着救人一命，胜造七级浮屠的原则，你想要尽可能地撮合更多的情侣，匈牙利算法的工作模式会教你这样做：

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一： 先试着给1号男生找妹子，发现第一个和他相连的1号女生还名花无主，got it，连上一条蓝线

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二：接着给2号男生找妹子，发现第一个和他相连的2号女生名花无主，got it

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三：接下来是3号男生，很遗憾1号女生已经有主了，怎么办呢？

我们试着给之前1号女生匹配的男生（也就是1号男生）另外分配一个妹子。

(黄色表示这条边被临时拆掉)

与1号男生相连的第二个女生是2号女生，但是2号女生也有主了，怎么办呢？我们再试着给2号女生的原配()重新找个妹子(注意这个步骤和上面是一样的，这是一个递归的过程)

此时发现2号男生还能找到3号女生，那么之前的问题迎刃而解了，回溯回去

2号男生可以找3号妹子~~~                  1号男生可以找2号妹子了~~~                3号男生可以找1号妹子

所以第三步最后的结果就是：

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四： 接下来是4号男生，很遗憾，按照第三步的节奏我们没法给4号男生腾出来一个妹子，我们实在是无能为力了……香吉士同学走好。

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这就是匈牙利算法的流程，其中找妹子是个递归的过程，最最关键的字就是“腾”字

其原则大概是：有机会上，没机会创造机会也要上

 hdu2063：

hdu2063就是一道裸二分图最大匹配的问题，直接上匈牙利算法即可。

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         #include 
        
          using namespace std; const int N=505; int line[N][N]; int girl[N],used[N]; int k,m,n; bool found(int x) { for(int i=1; i<=n; i++) { if(line[x][i]&&!used[i]) { used[i]=1; if(girl[i]==0||found(girl[i])) { girl[i]=x; return 1; } } } return 0; } int main() { int x,y; while(scanf("%d",&k)&&k) { scanf("%d %d",&m,&n); memset(line,0,sizeof(line)); memset(girl,0,sizeof(girl)); for(int i=0; i 
          
         
        
       
      
     
    
  

二分图最优匹配：

接下来就是二分图最优匹配的km算法了

km算法理解起来着实很困难，我其实只能照着代码讲，不然根本讲不明白。不过听一个学长说要理解思想而不是代码。。。那就试着空讲一下吧。

二分图多重匹配：

设源点汇点直接网络流即可，在此不细讲，会在网络流部分进行讲解

转发至https://blog.csdn.net/thundermrbird/article/details/