常用z反变换公式表_高等数学系列R之三：拉氏变换

2020-03-19

拉氏变换与傅立叶变换

拉氏变换（Laplace transform）是应用数学中常用的一种积分变换，其符号为 L[f(t)] 。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有实数变数的函数转换为一个变数为复数 s 的函数：

拉氏变换在大部份的应用中都是对射的，最常见的 f(t) 和 F(s) 组合常印制成表，方便查阅。拉氏变换和傅立叶变换有关，不过傅立叶变换将一个函数或是信号表示为许多弦波的叠加，属于「频域变换」；而拉氏变换则是将一个函数表示为许多矩的叠加，属于「时域变换」。拉氏变换的好处就是能够将复杂的积分与微分的问题，变换成比较容易计算的代数方法，为什么要进行变换？因为很多时候频域变换比时域变换直观得多。因此，拉氏变换较多被用于解决：

(1).常数系数的线性微分或积分方程式；

(2).分析线性非时变系统的输入输出信号。

实务上，拉氏变换在物理及工程上常用来分析线性非时变系统，可用来分析电子电路、谐振子、光学仪器及机械设备，在这些分析中，拉氏变换可以作时域和频域之间的转换，在时域中输入和输出都是时间的函数，在频域中输入和输出则是复变角频率的函数。

拉氏变换

在时域分析中，物理系统之动态方程式是以微分方程式来表示，在分析与设计上较为不便，若将其取拉氏变换后，改以「转移函数」来表示，则系统之输出与输入将只是代数关系，在数学处理较为简单且方便，也易于以图解法处理。

拉氏变换可以从「幂级数」的概念中推广出来，下面给出其推广过程。一个函数可以用幂级数的形式表出：

。其实，这个序列可以看成是一个特殊的函数，即自变量只取整数的函数，那么我们将其推广为一般函数会有什么效果？将离散自变量

n 用连续自变量
t 代替，如果想用
t 取代
i，显然不能再用处理离散序列的方法进行求和，而是通过积分操作。令
A(x)=∫f(t)xtdt，而在微积分中我们常引入自然指数来方便运算，即

。

在这里，我们需要对x做一些限定，因为幂级数存在收敛半径的，对于一般的自然界中存在的实际函数（如信号）是不能发散到正无穷的，因此该函数有上界，而由于为了避免负的幂带来的困扰，我们要求 x>0。由于 0

，而
lnx∈(−∞, 0)，也就是说，这样我们得到的变换的函数对其自变量的范围有所限制，为
x∈(0, 1)。这当然很不好看，因此我们做一个代换，令
s=-lnx，将
A(x) 用
F(x) 代替，因此原始变为 ：

。没错，这正是拉氏变换！原本我们变换后的函数本来是

F(x), x∈(0,1)，但是，这种形式很难看，在操作时也很麻烦，因此我们做了变换，得到了变换后的函数
F(s), s∈(0,+∞)，两个其实是一回事。将拉氏变换用符号
L 表示，记作：
L[f(t)]=F(s)。

公式证明

①

，s>0

②

，s>0

④

，s>a

⑤

⑥

⑧

，s>|ω|

⑨

，s>|ω|

线性性质

若函数 f(t) 及 g(t) 的拉氏变换分别为 F(s) 及 G(s)，且 a, b 为常数，则L[af(t)+bg(t)]=aF(s)+bG(s)

pf：

(ex.34) 設

，求

L[f(t)]。

Sol：

，s>0

第一移位性质：s 轴的移位

设 L[f(t)]= F(s)，则

, s>a

pf：

,

s>a

(ex.35) 設 f(t)=e-tcos(2t)，求 L[f(t)]。

Sol：因为

，再將

加入，则前式的

s 要改成
s-(-1)=s+1

所以

微分的拉氏变换

设 f(t) 在 t>0 为连续函数，且 f‘(t)、f’‘(t)、f’‘’(t) 存在，则

⇒ 求一次微分的拉氏变换

⇒ 求二次微分的拉氏变换

pf：

说明：

(1). 若直接求 L[f(t)] 不好计算时，可先求 f(t) 微分后的拉氏变换值，即先求 L[f‘(t)]；

则由上面微分公式知：L[f(t)]=F(s) 值就是

。

(2). 要求微分的拉氏变换 L[f‘(t)] 时，可用下列二方法之一种來求：

(i). 方法一：

(a). 先求出没有微分的拉氏变换，即 L[f(t)]=F(s)。

(b). 再求出

之值。

(c). 則 L[f’(t)]=sF(s)=f(0)。

(ii). 方法二：

(a). 先求出 f(t) 的微分 f’(t)。

(b). 再求出 f’(t) 的拉氏变换。

(ex.36) L[sin2t]，求值。

Sol：方法一：

(a).

。

(b). 再求

。

方法二：

令 f(t)=sin2t ⇒ f’(t)=2sintcost=sin(2t)，而 f(0)=0，所以

⇒

积分的拉氏变换

设 L[f(t)]=F(s)，则

pf：

说明：若要求一个函数的积分的拉氏变换时，

(1). 可先求该函数的拉氏变换 L[f(t)]=F(s)，

(2). f(t) 加入积分符号时，只要将 (1) 的结果 F(s) 除以 s 即可。

(ex.37)

，求值。

Sol：(1). 先求

(2). 加入积分符号，(1) 的结果多除以 s ⇒

拉氏变换的微分 (或乘以

的拉氏变换)

若 L[f(t)]=F(s)，则

pf：

说明：

(1). 若要求 L[tf(t)] (两个函数相乘有一个是 t)时，

(a). 可先求 L[f(t)]=F(s)，

(b). 则 L[tf(t)] 是 F(s) 对 s 微分，再乘以 (-1) 的结果。

(2). 若要求 L[t2f(t)] (两个函数相乘有一个是

)时，

(a). 可先求 L[f(t)]=F(s)，

(b). 则 L[t2f(t)] 是 F(s) 对 s 二次微分，再乘以

的结果。

(ex.38) L[tcost]，求值。

Sol：(1). 先求

，

(2).

(3). 所以

拉氏变换的积分 (或除以 t 的拉氏变换)

若 L[f(t)]=F(s)，则

pf：令

， 两边取拉氏变换

两边积分

因

(拉氏变换的性质)，所以

说明：若要求

时 (一个函数除以

t)，

(a). 可先求 L[f(t)]=F(s)，

(b). 则 f(t) 除以 t 的拉氏变换，只要对 F(s) 做积分即可。

(ex.39)

，求值。

Sol：(1). 先求

，

(2). 除以 t

拉氏反变换 (Inverse Laplace Ttansforms)

拉氏反变换是拉氏变换的相反运算，也就是若 f(t)的拉氏变换是 F(s) (即 L[f(t)]=F(s))，则 F(s) 的拉氏反变换即为 f(t)，记成：

。到目前为止，囚拉氏反变换的方法有：

(1). 用拉氏变换的定义直接代公式做变换求解，例如：

(a).

(b).

(2). 用“线性性质”求解，L[af(t)+bg(t)]=aF(s)+bG(s)

(3). 用“第一位移性质”求解，

，其作法为：

(a). 先把 F(s-a) 的所有 (s-a) 改成 s，即变成 F(s)，

(b). 再求出改成 s 的拉氏反变换，即 ，

(c). 把 F(s) 的所有 s 改回 (s-a)，只要将 (b) 的结果 f(t) 再乘以

。

(4). 用“拉氏变换的微分”求解，

，其作法为：

(a). 令

(b). 又公式

，即将

F(s) 微分先乘以
(-1)，再取拉氏反变换可得
tf(t)。

(c). 最后再除以 t 可求得 f(t)。

(ex.40) 若

，求

。

Sol：用拉氏变换的定义直接代公式做变换求解，因

，

所以

分母是二次式的拉氏反变换

分母是二次式，求拉氏反变换的方法和求积分的方法类似，即要求

的拉氏反变换时，

(1). 若分母的判别式

，用“部分分次法”解题 (见下节)。

(2). 若分母的判别式

且

c≠0，用”部分分次法”解题 (见下节)。

(3). 若分母的判别式

且

c=0，用“第一位移性质”解题。

(4). 若分母的判别式

，

(a). 将分母

改成

的形式。

(b). 若 c≠0，还要将分子分成二项，即 (s+α) 的倍数再加上一常数。

(ex.41) 若

，求

f(t)。

Sol：此题分母为二次式，且分母的判别式

，

(1). 将 (s+1) 改成 s，再求其拉氏反变换，即

(2). 将 s 改回 s-(-1) 时，其结果要多乘以

，即

用部分分式法解拉氏反变换

设

，

G(s) 和
H(s) 均为实系数
s 的多项式，且无公因式，
G(s) 的
s 次方数低于
H(s) 的
s 次方数。若分母
H(s) 可分解成

，其中上式的二次式判别式都小于

0，即

，且

，则

(也就是分母是多项式相乘的分式，可以变成分母是多项式相加的式子)

我们可以求出上式的

，再一一的求出其拉氏反变换。即

(1).

可用拉氏变换的定义直接代公式做变换求解。

(2).

可用“第一位移性质”求解。

(3).

可用“第一位移性质”求解。

(4).

可用“旋卷

(convolution)”求解 (见下节)。，或直接代下面公式，

(ex.42) 若

，求

f(t)。

Sol：因

，同乘

s(s+1)(s+2)

(1). s=0 代入

(2). s=-1 代入

(3). s=-2 代入

旋卷-求二函數相乘的拉氏反变换

若

，

，则

说明：要求二函数相乘的拉氏反变换，可先将二函数的拉氏反变换个别求出来，相乘后再积分即可得到。(参数一个改成 u，一个改成 (t-u)，那个 t 改成 u 与改成 t-u，算出的答案均相同)

公式：

(ex.43) 用旋卷解

。

Sol：因

、

第一项的 t 换成 u，第二项的 t 换成 (t-u)，所以

其它类型的拉氏变换

t (时间) 轴之移位 (第二移位性质)

一般式为：

(

a≧0)

以前介绍的拉氏变换因都在 t>0 时，所以会直接写成：L[f(t)]=F(s)，其实更严谨的写法应该写成 L[f(t)u(t)]=F(s)，也就是

(1).

(2).

(3).

(4).

，s>a

本节为第二移位性质，其为：

其拉氏变换

说明：

(1). 求拉氏变换：，要求 f(t-a)u(t-a) 的拉氏变换时，

(a). 先将 f(t-a)u(t-a) 内的 t 用 (t+a) 取代，得到 f(t)u(t)。(注：它是将函数 f(t-a)u(t-a) 往左平移 a 单位，也就是函数从原点其值就出现。)

(b). 求出 (a) 式的 f(t)u(t) 的拉氏变换为 F(s)。(此时可直接代拉氏变换的公式)

(c). 将 (b) 的 t 改回 (t-a)，即 f(t-a)u(t-a)，它的拉氏变换为 (b) 的结果多乘以

，即

(2). 求拉氏反变换：，要求

的拉氏反变换时，

(a). 先求 F(s) 的拉氏反变换為 f(t)，即

(b). 将

加到

F(s) 前，只要将 (a) 结果的
t 改成
(t-a)，即

。

(ex.44) 求

的拉氏变换。

Sol：原式即为：

，所以

(1). 先将 f(t)=(t-2)3u(u-2) 內的 t 用 (t+2) 取代

(2). 解

(3). 將 t 改回 t-2，即

，它的拉氏转换为

(2)的结果多乘以

，即

周期函数的拉氏变换

若函数 f(t) 是周期为 T 的周期函数，则 f(t+T)=f(t)，对所有 t>0。而周期为 T 的周期函数，其拉氏变换为：

，

s>0

也就是要求周期函数的拉氏变换，只要积分积一个周期，再乘以

证明：略

(ex.45) 周期 T=2，求

的拉氏变换。

Sol：利用周期函数公式，

而

所以

利用拉氏变换法来解线性常系数微分方程式

利用拉氏变换法来解线性常系数微分方程式的方法為：

(1). 将微分方程式逐项取拉氏变换。

(2). 将微分方程式的初值代入 (1) 的结果。

(3). 用加减乘除法可求 Y(s)。

(4). 求出

定理复习

(1). L(f’(t))=sF(s)-f(0)

(2).

(ex.46) 解 y’’+9y=0，且 y(0)=0，y’(0)=2。

Sol：

(1). 取拉氏变换

(2). 代入初值 y(0)=0，y’(0)=2，

(3). 解出

(4). 求出

Ref.:

李狗嗨：拉普拉斯变换中的S是个什么鬼？​zhuanlan.zhihu.com

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