【算法编程】小学数学题难倒博士

昨天在科学网上得知这样一个新闻《越南小学数学题难倒博士》，据悉题目来自越南保禄小学三年班，不过报道称该题难倒了上至博士下至家长，未免也太言过其实了。

题目描述

解题方法

显然，这题对于我们这种程序员来说完全不是问题，只要在大一上过C语言的学生(我们学校全校都学过C，即使是文科专业)基本上都可以用九重for循环来穷举解出此题，下面我分别用C和Matlab实现，并对Matlab算法进行了改进。

C语言实现：

#include 
       #include 
       void main() { clock_t start, finish; //用于计时 double duration; start = clock(); double result=0;//存储计算结果来看是否与66相等 int index=0; int num=0; for(int a=1;a<10;a++) for(int b=1;b<10;b++) for(int c=1;c<10;c++) for(int d=1;d<10;d++) for(int e=1;e<10;e++) for(int f=1;f<10;f++) for(int g=1;g<10;g++) for(int h=1;h<10;h++) for(int i=1;i<10;i++) { result=a+13*b/float(c)+d+12*e-f-11+g*h/float(i)-10; if(result==66) { //这里可以打印解的结果 num=num+1; } } finish = clock(); duration = (double)(finish - start) / CLOCKS_PER_SEC; printf("总共有%d种结果\n耗时为%f秒\n",num,duration); }

结果显示如下：

Matlab实现

• 最直接的方法：耗时4911. 秒。

clear all;ans=[]; tic for a=1:9 for b=1:9 for c=1:9 for d=1:9 for e=1:9 for f=1:9 for g=1:9 for h=1:9 for i=1:9 result=a+13*b/c+d+12*e-f-11+g*h/i-10; if result==66; answer=[a b c d e f g h i]; ans=[ans;answer]; end end end end end end end end end end toc

在上面的算法中，存储结果answer的操作十分耗时，我们可以想办法来优化。于是，我将存储结果的过程注释掉后（去掉if语句块），耗时为16. 秒，时间由一个小时缩短到了十几秒。不过即使不储存结果，也耗时16. 秒，这与用C语言（同样也没有存储结果）的4秒还是有差距的！下面我来讲讲如何改进算法。

改进的matlab实现

在之前的文章《Matlab高效编程技巧》中，提到了要尽量避免多重循环，多使用向量化函数。因此，我决定用矩阵来代替这9重循环。
首先从简单的例子出发：假设有2个一维数组a,b，其元素都是1：9，显然这2个数组任意元素之间进行四则运算（在这里我们假设是相乘）的结果有9*9项，可以用一个9*9的二维数组表示；同理，假设有3个一维数组a,b,c，其元素都是1：9，我们要计算这三个数组任意元素之间进行四则运算的结果，这样总共有9*9*9项，正好用一个9*9*9的三维数组存储；依此类推，我们可以得到9个一维数组元素间进行四则运算可以用9*9*9*9*9*9*9*9*9*9的9维数组表示。
然而，在matlab中，*只能用于二维数组的相乘，幸好我们可以通过bsxfun函数来进行不同维数数组的计算.下面举例演示一下bsxfun的用法：

clear all a=ones(9,1);%注意一维列向量相当于一个大小为9*1的二维向量 b=ones(1,9); c=ones(1,1,9); a(1:9)=1:9 b(1,1:9)=1:9 c(1,1,1:9)=1:9; temp1=bsxfun(@times,a,b)%乘法a*b temp1是9*9的二维数组 temp2=bsxfun(@plus,a,b)%加法a+b temp3=bsxfun(@times,temp1,c)%乘法a*b*c 9*9*9的三维数组

通过运行上述结果，你就可以发现，bsxfun完成了任意元素间两两进行四则运算的结果,而且并不要求维数相等。当然关于bsxfun的运算原理以及作用可以查看Matlab的自带文档。我们的算法只需要上述的功能就可以了，在程序中，我按照公式a+13*b/c+d+12*e-f-11+g*h/i-10计算了当$a,b,\cdots,i$的所有组合的值，并存储在abcdefghi中，最后再找到数组abcdefghi中值为66的元素所在的下标索引，其索引就是问题的解。具体的Matlab程序实现如下：

clear all tic %使得a,b,c,d,e,f,g,h,i分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9维的向量 a=ones(9,1);%注意一维列向量相当于一个大小为9*1的二维向量 b=ones(1,9); c=ones(1,1,9); d=ones(1,1,1,9); e=ones(1,1,1,1,9); f=ones(1,1,1,1,1,9); g=ones(1,1,1,1,1,1,9); h=ones(1,1,1,1,1,1,1,9); i=ones(1,1,1,1,1,1,1,1,9); a(1:9)=1:9; b(1,1:9)=1:9; c(1,1,1:9)=1:9; d(1,1,1,1:9)=1:9; e(1,1,1,1,1:9)=1:9; f(1,1,1,1,1,1:9)=1:9; g(1,1,1,1,1,1,1:9)=1:9; h(1,1,1,1,1,1,1,1:9)=1:9; i(1,1,1,1,1,1,1,1,1:9)=1:9; %主要使用bsxfun函数来实现不同维函数的四则运算 %a+13*b/c+d+12*e-f-11+g*h/i-10=66 b=bsxfun(@times,b,13); bc=bsxfun(@rdivide,b,c); gh=bsxfun(@times,g,h); ghi=bsxfun(@rdivide,gh,i); abc=bsxfun(@plus,a,bc); abcd=bsxfun(@plus,abc,d); e=bsxfun(@times,e,12); abcde=bsxfun(@plus,abcd,e); abcdef=bsxfun(@minus,abcde,f); abcdef=bsxfun(@minus,abcdef,11); abcdefghi=bsxfun(@plus,abcdef,ghi); abcdefghi=bsxfun(@minus,abcdefghi,10); toc counter=find(abcdefghi==66);%找到下标索引 [l1,l2,l3,l4,l5,l6,l7,l8,l9]=ind2sub(size(abcdefghi),counter(1))%这就是一种可能的解 

运行结果如下图：

从上图中可以看出，counter大小为，即总共有个解，其中counter(1)=45时，对应的解为abcdefghi=9 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1。
注释：此程序在内存较小的电脑中会由于内存不够而运行不成功，我是在实验室的工作站（内存128g）上运行的。

结果分析

使用matlab编程时，要避免使用多重循环，尽量以矩阵的角度思考问题。由上面的程序耗时对比可以看出，用C语言实现和我改进的算法耗时都在4秒左右，而且用C语言实现是在没有存储解的结果的情况下，如果同样的要存储结果（存储结果可以用不同的数据结构：链表、队列等等）的话，谁更耗时还说不定！由文中提到的两种matlab实现可知，第一种方法占用内存小，可以在普通的电脑上运行，但是耗时长；而我们改进的算法，耗时短，但是占用内存大，在内存小的机器上无法运行。这就是所谓的时间换空间，空间换时间吧！