1. 三参数威布尔分布的密度函数和累积密度函数
其中gama位置参数，且gama>0; 表示设备在[0, gama]之间不会发生故障
eta是比例参数，表示函数的缩放
beta是形状参数，表示函数的走势，beta>1,表示故障率随时间增加，beta<1, 表示故障率随时间减小
2. 参数估计中的gama估计相对简单，一般取设备开始使用到第一次发生故障的最短时间，所以，所有的故障发生时间减去gama，故障率就服二参数威布尔分布。
所以这里为了简单且不失泛化能力，假设为0.
3. 下面证明beta和eta之间存在线性关系
gama=0，
由（2）得到
可以看到，最后一个公式是一个与参数有关的直线，所以可以使用线性拟合的方法估计参数。
4. 威布尔分布的参数估计原理
根据上面的讨论，如上式所示，如果我们有一些故障发生的时间点 x, 且知道对应的F(x)的值，就相当于知道了一些二维的数据点，可以用最小二乘法估计beta和eta。
5. X和F(x)的获取
X是设备发生故障的时间点，这可以从故障数据中获得。假如取100次故障发生的时间点，则：
X = [x1,x2,x3,…,x100]
其中x1
这里故障发生的时间点是按照时间顺序排列的
同样，F(xi) = P(x
F(xi)是截止到时间xi,设备发生故障的概率
我们这里认为，F(x1)
那么F(xi)是多少呢？
这里取F(xi)=i/(n+1),基本符合上面的要求
6. 参数估计的过程如下
7. 举例
使用matlab的随机生成函数，生成100个服从威布尔分布的时间点
X = wblrnd(1,2,100,1)
这里beta=2， eta=1；
下面按照上面的方法，计算beta和eta，计算结果如下，
beta= 2.05994， eta=0.
计算过程参考代码
8. 威布尔参数的估计有多种方法，最小二乘是精度和复杂度折中的方法。
代码如下
// 威布尔.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。 // #include "stdafx.h" #include
#include
using namespace std; int main() { //发生故障的时间 double time[] = {0.1100, 0.1430,0.1468,0.1939, 0.2509, 0.2717, 0.2823,0.3012, 0.3162, 0.3164, 0.3182, 0.3398, 0.3471, 0.3493, 0.3639, 0.3892, 0.4114, 0.4569, 0.4651, 0.4710, 0.4774, 0.4997, 0.5437, 0.5606, 0.5717, 0.5792, 0.5820, 0.5838, 0.5987, 0.6213, 0.6220, 0.6519, 0.6630, 0.6867, 0.6885, 0.6941, 0.7032, 0.7114, 0.7207, 0.7298, 0.7398, 0.7419, 0.7730, 0.7770, 0.7934, 0.8073, 0.8231, 0.8320, 0.8325, 0.8396, 0.8447, 0.8459, 0.8463, 0.8568, 0.8676, 0.8678, 0.8826, 0.9075, 0.9115, 0.9184, 0.9261, 0.9459, 0.9631, 0.9855, 1.0006, 1.0236, 1.0453, 1.0470, 1.0692, 1.0806, 1.0954, 1.1023, 1.1565, 1.1570, 1.1575, 1.1638, 1.1947, 1.1994, 1.2094, 1.2114, 1.2165, 1.2197, 1.2273, 1.2536, 1.2730, 1.2790, 1.2994, 1.3033, 1.3296, 1.3357, 1.4110, 1.4636, 1.4823, 1.4957, 1.5217, 1.5681, 1.8103, 1.8678, 1.8796, 1.8846}; //100个故障点 int num_point = 100; //下面计算文档中对应的公式 double xmean = 0.0; double ymean = 0.0; double beta1 = 0.0; double beta21 = 0.0; double beta22 = 0.0; double beta3 = 0.0; double beta4 = 0.0; double beta2 = 0.0; for(int i = 0; i < num_point; i++) { xmean += log(log(1.0/(1-(i+1)*1.0/(num_point+1)))); ymean += log(time[i]); beta1 += log(time[i])*log(log(1.0/(1-(i+1)*1.0/(num_point+1)))); beta21 += log(log(1.0/(1-(i+1)*1.0/(num_point+1)))); beta22 += log(time[i]); beta3 += log(time[i])*log(time[i]); beta4 += log(time[i]); } ymean = ymean/num_point; xmean = xmean/num_point; beta1 = beta1 * num_point; beta2 = beta21*beta22; beta3 = beta3*num_point; beta4 = beta4*beta4; double beta = (beta1-beta2)/(beta3-beta4); double eta = exp(ymean - xmean/beta); cout << "beta: " << beta << "eta: " << eta; return 0; }
9.参考文献
Mohammad A. Al-Fawzan
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