- 求sinc函数的积分：
I = ∫ − ∞ + ∞ s i n ( x ) x d x I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin(x)}{x}dx I=∫−∞+∞xsin(x)dx - 解法如下：
易 知 有 ∫ 0 + ∞ e − x t d t = 1 x 易知有\int_{0}^{+\infty}e^{-xt}dt=\frac{1}{x}\\ 易知有∫0+∞e−xtdt=x1
I = ∫ − ∞ + ∞ s i n ( x ) x d x = 2 ∫ 0 + ∞ s i n ( x ) x d x = 2 ∫ 0 + ∞ s i n ( x ) ( ∫ 0 + ∞ e − x t d t ) d x = 2 ∫ 0 + ∞ [ ∫ 0 + ∞ s i n ( x ) e − x t d x ] d t = 2 ∫ 0 + ∞ 1 1 + t 2 d t ( 此 步 可 由 分 部 积 分 得 到 ) = π \begin{aligned} I&=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin(x)}{x}dx\\ &=2\int_{0}^{+\infty} \frac{sin(x)}{x}dx\\ &=2\int_{0}^{+\infty}sin(x)(\int_{0}^{+\infty}e^{-xt}dt)dx\\ &=2\int_{0}^{+\infty}[\int_{0}^{+\infty}sin(x)e^{-xt}dx]dt\\ &=2\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{1+t^2}dt~~~~~~~~~~~~~~(此步可由分部积分得到)\\ &=\pi \end{aligned} I=∫−∞+∞xsin(x)dx=2∫0+∞xsin(x)dx=2∫0+∞sin(x)(∫0+∞e−xtdt)dx=2∫0+∞[∫0+∞sin(x)e−xtdx]dt=2∫0+∞1+t21dt (此步可由分部积分得到)=π
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