前面针对机器学习中基础的线性代数知识，我们做了一个常用知识的梳理。接下来针对机器学习公式推导过程中经常用到的矩阵求导，我们做一个详细介绍。
矩阵求导（Matrix Derivative）也称作矩阵微分（Matrix Differential），在机器学习、图像处理、最优化等领域的公式推导中经常用到。
矩阵的微积分本质上是多元变量的微积分问题，只是应用在矩阵空间上而已
根据 Y \bf Y Y 与 X \bf X X 的不同类型（实值、向量、矩阵）给出如下表中的表示：
| 类型 | 标量（Scalar） y y y | 向量（Vector） y \bf y y | 矩阵（Matrix） Y \bf Y Y |
|---|---|---|---|
| Scalar x x x | ∂ y ∂ x \frac {\partial y}{\partial x} ∂x∂y | ∂ y ∂ x \frac {\partial \bf y}{\partial x} ∂x∂y | ∂ Y ∂ x \frac {\partial \bf Y}{\partial x} ∂x∂Y |
| Vector x \bf x x | ∂ y ∂ x \frac {\partial y}{\partial \bf x} ∂x∂y | ∂ y ∂ x \frac {\partial \bf y}{\partial \bf x} ∂x∂y | |
| Matrix X \bf X X | ∂ y ∂ X \frac {\partial y}{\partial \bf X} ∂X∂y |
下面我们根据分子的布局（即X的类型）来介绍矩阵的导数求解
0 布局约定（Layout conventions）
事实上，所有求导的法则都可以从最基本的求导规则推导出来。不知你有没发现，不同的文献中，同样的式子求导的结果有时候会不一样，仔细观察会发现刚好相差一个转置，于是我们得先说说求导的两个派别（布局）。
由向量关于向量的求导 ∂ y ∂ x \frac{\partial y}{\partial x} ∂x∂y可以得出两种矛盾的表示：结果表示为 n × m n×m n×m 矩阵或 m × n m×n m×n 矩阵。也就是把 y \bf y y 表示为列向量 x \bf x x 表示为行向量或者反过来表示的问题。
布局（Layout）：在矩阵求导中有两种布局，分别为分母布局(denominator layout)和分子布局(numerator layout)。这两种不同布局的求导规则是不一样的。
向量 y = [ y 1 y 2 ⋮ y n ] {\bf y} = \begin {bmatrix} y_1 \\ y_2\\ \vdots \\ y_n\end{bmatrix} y=⎣⎢⎢⎢⎡y1y2⋮yn⎦⎥⎥⎥⎤，关于标量 x x x 的求导，
在分子布局下，为：
∂ y ∂ x = [ ∂ y 1 ∂ x ∂ y 2 ∂ x ⋮ ∂ y n ∂ x ] (1) \frac {\partial \bf y}{\partial x} = \begin {bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x} \\ \frac{\partial y_2}{\partial x} \\ \vdots \\ \frac{\partial y_n}{\partial x} \end{bmatrix}\tag{1} ∂x∂y=⎣⎢⎢⎢⎡∂x∂y1∂x∂y2⋮∂x∂yn⎦⎥⎥⎥⎤(1)
而在分母布局下，为：
∂ y ∂ x = [ ∂ y 1 ∂ x ∂ y 2 ∂ x ⋯ ∂ y n ∂ x ] (2) \frac {\partial \bf y}{\partial x} = \begin {bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x} & \frac{\partial y_2}{\partial x} & \cdots & \frac{\partial y_n}{\partial x} \end{bmatrix}\tag{2} ∂x∂y=[∂x∂y1∂x∂y2⋯∂x∂yn](2)
通过观察和推导我们可以知道，分子布局和分母布局之间刚好差一个转置，即在分子布局下与原来 Y \bf Y Y相同，而在分母布局下差一个转置。
对于正切矩阵 ∂ y ∂ x \frac{\partial y}{\partial x} ∂x∂y采用分母布局，即 Y ⊤ \bf Y^ \top Y⊤，很不符合表达的习惯，所以本文中我们采用的是分子布局。
1 关于标量的导数
对于 X \bf X X 是标量的情况，是我们最熟悉的一种情况。
1.1 标量关于标量X的求导
这中情况就是我们平时的代数求导，直接就是 ∂ y ∂ x \frac {\partial y}{\partial x} ∂x∂y
1.2 向量关于标量X的求导
向量 y = [ y 1 y 2 ⋮ y n ] {\bf y} = \begin {bmatrix} y_1 \\ y_2\\ \vdots \\ y_n\end{bmatrix} y=⎣⎢⎢⎢⎡y1y2⋮yn⎦⎥⎥⎥⎤，关于标量 x x x 的求导就是 y {\bf y} y 的每一个元素分别对 x x x求导，可以表示为
∂ y ∂ x = [ ∂ y 1 ∂ x ∂ y 2 ∂ x ⋮ ∂ y n ∂ x ] (3) \frac {\partial \bf y}{\partial x} = \begin {bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x} \\ \frac{\partial y_2}{\partial x} \\ \vdots \\ \frac{\partial y_n}{\partial x} \end{bmatrix}\tag{3} ∂x∂y=⎣⎢⎢⎢⎡∂x∂y1∂x∂y2⋮∂x∂yn⎦⎥⎥⎥⎤(3)
此时为正切向量， ∂ y ∂ x \frac {\partial \bf y}{\partial x} ∂x∂y 为 y \bf y y 的正切向量，有映射 y \bf y y : R m ⟹ R m {\Bbb R}^m \implies {\Bbb R}^m Rm⟹Rm 。
1.3 矩阵关于标量X的求导
矩阵对标量的求导类似于向量关于标量的求导，也就是矩阵的每个元素分别对标量 x x x求导，矩阵 Y = [ y 11 y 12 ⋯ y 1 n y 21 y 22 ⋯ y 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ y n 1 y n 2 ⋯ y n n ] {\bf Y} = \begin {bmatrix} y_{11} & y_{12} & \cdots & y_{1n} \\ y_{21} & y_{22} & \cdots & y_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_{n1} & y_{n2} & \cdots & y_{nn} \end{bmatrix} Y=⎣⎢⎢⎢⎡y11y21⋮yn1y12y22⋮yn2⋯⋯⋱⋯y1ny2n⋮ynn⎦⎥⎥⎥⎤ 对标量 x x x的导数为
∂ Y ∂ x = [ ∂ y 11 ∂ x ∂ y 12 ∂ x ⋯ ∂ y 1 n ∂ x ∂ y 21 ∂ x ∂ y 22 ∂ x ⋯ ∂ y 2 n ∂ x ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ y n 1 ∂ x ∂ y n 2 ∂ x ⋯ ∂ y n n ∂ x ] (4) \frac {\partial \bf Y}{\partial x} = \begin {bmatrix} \frac{\partial y_{11} }{\partial x } & \frac{\partial y_{12} }{\partial x }& \cdots & \frac{\partial y_{1n} }{\partial x } \\ \frac{\partial y_{21}}{\partial x } & \frac{\partial y_{22}}{\partial x } & \cdots & \frac{\partial y_{2n}}{\partial x } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_{n1} }{\partial x } & \frac{\partial y_{n2} }{\partial x } & \cdots & \frac{\partial y_{nn}}{\partial x } \end{bmatrix}\tag{4} ∂x∂Y=⎣⎢⎢⎢⎡∂x∂y11∂x∂y21⋮∂x∂yn1∂x∂y12∂x∂y22⋮∂x∂yn2⋯⋯⋱⋯∂x∂y1n∂x∂y2n⋮∂x∂ynn⎦⎥⎥⎥⎤(4)
2 关于向量的导数
2.1标量关于向量 x \bf x x 的导数
标量 y y y 关于向量 x = [ x 1 x 2 ⋮ x n ] {\bf x } = \begin {bmatrix} x_1 \\ x_2\\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix} x=⎣⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xn⎦⎥⎥⎥⎤ 的求导可以表示为
∂ y ∂ x = [ ∂ y ∂ x 1 ∂ y ∂ x 2 ⋯ ∂ y ∂ x n ] (5) \frac {\partial y}{\partial \bf x} = \begin {bmatrix} \frac{\partial y}{\partial x_{1} }\ \frac{\partial y}{\partial x_{2} } \ \cdots \ \frac{\partial y}{\partial x_{n} } \end{bmatrix}\tag{5} ∂x∂y=[∂x1∂y ∂x2∂y ⋯ ∂xn∂y](5)
此时的向量叫做梯度向量。 ∂ y ∂ x \frac {\partial y}{\partial \bf x} ∂x∂y 为标量 y y y 在空间 R n {\Bbb R}^n Rn 的梯度，该空间以 x x x 为基。
2.2 向量关于向量 x \bf x x 的导数
向量函数（即函数组成的向量） y = [ y 1 y 2 ⋮ y n ] {\bf y} = \begin {bmatrix} y_1 \\ y_2\\ \vdots \\ y_n\end{bmatrix} y=⎣⎢⎢⎢⎡y1y2⋮yn⎦⎥⎥⎥⎤ 关于向量 x = [ x 1 x 2 ⋮ x n ] {\bf x } = \begin {bmatrix} x_1 \\ x_2\\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix} x=⎣⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xn⎦⎥⎥⎥⎤ 的导数记作
∂ y ∂ x = [ ∂ y 1 ∂ x 1 ∂ y 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ y 1 ∂ x n ∂ y 2 ∂ x 1 ∂ y 2 ∂ x 2 ⋯ ∂ y 2 ∂ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ y n ∂ x 1 ∂ y n ∂ x 2 ⋯ ∂ y n ∂ x n ] (6) \frac {\partial \bf y}{\partial \bf x} = \begin {bmatrix} \frac{\partial y_{1} }{\partial x_{1} } & \frac{\partial y_{1} }{\partial x_{2} }& \cdots & \frac{\partial y_{1} }{\partial x_{n} } \\ \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{1} } & \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{2} } & \cdots & \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{n} } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_{n} }{\partial x_{1} } & \frac{\partial y_{n} }{\partial x_{2} } & \cdots & \frac{\partial y_{n}}{\partial x_{n} } \end{bmatrix}\tag{6} ∂x∂y=⎣⎢⎢⎢⎢⎡∂x1∂y1∂x1∂y2⋮∂x1∂yn∂x2∂y1∂x2∂y2⋮∂x2∂yn⋯⋯⋱⋯∂xn∂y1∂xn∂y2⋮∂xn∂yn⎦⎥⎥⎥⎥⎤(6)
此时获得的矩阵 ∂ y ∂ x \frac {\partial \bf y}{\partial \bf x} ∂x∂y 叫做Jacobian 矩阵。
2.3 矩阵关于向量 x \bf x x 的导数
矩阵 Y = [ y 11 y 12 ⋯ y 1 n y 21 y 22 ⋯ y 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ y n 1 y n 2 ⋯ y n n ] {\bf Y} = \begin {bmatrix} y_{11} & y_{12} & \cdots & y_{1n} \\ y_{21} & y_{22} & \cdots & y_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_{n1} & y_{n2} & \cdots & y_{nn} \end{bmatrix} Y=⎣⎢⎢⎢⎡y11y21⋮yn1y12y22⋮yn2⋯⋯⋱⋯y1ny2n⋮ynn⎦⎥⎥⎥⎤ 对向量 x = [ x 1 x 2 ⋮ x n ] {\bf x } = \begin {bmatrix} x_1 \\ x_2\\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix} x=⎣⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xn⎦⎥⎥⎥⎤ 的导数是推导中最复杂的一种，我们可以表示为
∂ Y ∂ x = [ ∂ y 11 ∂ x 1 ∂ y 1 n ∂ x 2 ⋯ ∂ y 1 n ∂ x n ∂ y 21 ∂ x 1 ∂ y 22 ∂ x 2 ⋯ ∂ y 2 n ∂ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ y n 1 ∂ x 1 ∂ y n 2 ∂ x 2 ⋯ ∂ y n n ∂ x n ] (7) \frac {\partial \bf Y}{\partial \bf x} = \begin {bmatrix} \frac{\partial y_{11} }{\partial x_{1} } & \frac{\partial y_{1n} }{\partial x_{2} }& \cdots & \frac{\partial y_{1n} }{\partial x_{n} } \\ \frac{\partial y_{21}}{\partial x_{1} } & \frac{\partial y_{22}}{\partial x_{2} } & \cdots & \frac{\partial y_{2n}}{\partial x_{n} } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_{n1} }{\partial x_{1} } & \frac{\partial y_{n2} }{\partial x_{2} } & \cdots & \frac{\partial y_{nn}}{\partial x_{n} } \end{bmatrix}\tag{7} ∂x∂Y=⎣⎢⎢⎢⎢⎡∂x1∂y11∂x1∂y21⋮∂x1∂yn1∂x2∂y1n∂x2∂y22⋮∂x2∂yn2⋯⋯⋱⋯∂xn∂y1n∂xn∂y2n⋮∂xn∂ynn⎦⎥⎥⎥⎥⎤(7)
3 关于矩阵的导数
我们一般只考虑标量关于矩阵的导数（因为矩阵对向量和矩阵的导数与前面2.3节的内容一致或相似），即标量 y y y 对矩阵 X \bf X X 的导数为 ∂ y ∂ X \frac {\partial y}{\partial \bf X} ∂X∂y ，此时的导数是梯度矩阵，可以表示为下式：
∂ y ∂ X = [ ∂ y ∂ x 11 ∂ y ∂ x 21 ⋯ ∂ y ∂ x n 1 ∂ y ∂ x 12 ∂ y ∂ x 22 ⋯ ∂ y ∂ x n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ y ∂ x 1 n ∂ y ∂ x 2 n ⋯ ∂ y ∂ x n n ] (8) \frac {\partial y}{\partial \bf X} =\begin {bmatrix} \frac{\partial y }{\partial x_{11} } & \frac{\partial y }{\partial x_{21} }& \cdots & \frac{\partial y }{\partial x_{n1} } \\ \frac{\partial y}{\partial x_{12} } & \frac{\partial y}{\partial x_{22} } & \cdots & \frac{\partial y}{\partial x_{n2} } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y }{\partial x_{1n} } & \frac{\partial y }{\partial x_{2n} } & \cdots & \frac{\partial y}{\partial x_{nn} } \end{bmatrix}\tag{8} ∂X∂y=⎣⎢⎢⎢⎢⎡∂x11∂y∂x12∂y⋮∂x1n∂y∂x21∂y∂x22∂y⋮∂x2n∂y⋯⋯⋱⋯∂xn1∂y∂xn2∂y⋮∂xnn∂y⎦⎥⎥⎥⎥⎤(8)
4 维度分析
当我们对一些复杂的矩阵乘积求偏导的时候，直接求很难直接求出，这时候我们可以通过分析矩阵的维度来得到结果。例如:
考虑以下导数 ∂ A u ∂ x \frac {\partial \bf Au}{\partial \bf x} ∂x∂Au ，其中 A \bf A A 与 x \bf x x 无关 且有 A ∈ R m × n {\bf A} \in {\Bbb R}^ {m \times n} A∈Rm×n， u ∈ B b b R n × 1 {\bf u } \in {Bbb R}^{n \times 1} u∈BbbRn×1 ， x ∈ R p × 1 {\bf x} \in {\Bbb R}^{p \times 1} x∈Rp×1，我们知道结果肯定和 ∂ u ∂ x \frac {\partial \bf u}{\partial \bf x} ∂x∂u 有关，于是先把 A \bf A A 提出求导式，至于到了哪暂时不知道，接着我们知道 ∂ u ∂ x ∈ R p × n \frac {\partial \bf u}{\partial \bf x} \in {\Bbb R}^ {p \times n} ∂x∂u∈Rp×n，于是 A \bf A A 只能转置后添加到后面。因此有
∂ A u ∂ x = ∂ u ∂ x A ⊤ (9) \frac {\partial \bf Au}{\partial \bf x} = \frac {\partial \bf u}{\partial \bf x} {\bf A}^ \top \tag{9} ∂x∂Au=∂x∂uA⊤(9)
再考虑问题 ∂ x ⊤ A x ∂ x \frac {\partial \bf x^\top A x}{\partial \bf x} ∂x∂x⊤Ax ，其中 A ∈ R n × n {\bf A} \in {\Bbb R}^ {n \times n} A∈Rn×n， x ∈ R n × n {\bf x } \in {\Bbb R}^{n \times n} x∈Rn×n ,
为了分析这个问题我们考虑一个更一半的问题
∂ x ⊤ A x ∂ x (10) \frac {\partial \bf x^\top A x}{\partial \bf x}\tag{10} ∂x∂x⊤Ax(10)
其中 ${\bf A} \in {\Bbb R}^ {n \times n} $， ${\bf x } \in {Bbb R}^{n \times n} $，且 A \bf A A 与 x \bf x x 和 y \bf y y 无关 。于是我们利用维度分析，采用非精确的乘积法则，可以将它分为两个部分
∂ ( x ⊤ A ) y ∂ x (11) \frac {\partial \bf (x^\top A) y}{\partial \bf x} \tag{11} ∂x∂(x⊤A)y(11)
于是结果与两部分相关，一个是
∂ y ∂ x ∈ R m × n (12) \frac {\partial \bf y}{\partial \bf x} \in {\Bbb R}^ {m \times n} \tag{12} ∂x∂y∈Rm×n(12)
另一个是
∂ x ⊤ A ∂ x = A ∈ R m × n (13) \frac {\partial \bf x^\top A}{\partial \bf x} = {\bf A} \in {\Bbb R}^ {m \times n} \tag{13} ∂x∂x⊤A=A∈Rm×n(13)
同样通过维度分析，我们可以得到
∂ ( x ⊤ A ) y ∂ x = ∂ y ∂ x A ⊤ x + A y (14) \frac {\partial \bf (x^\top A) y}{\partial \bf x} = \frac {\partial \bf y}{\partial \bf x} \bf A^\top \bf x + \bf A \bf y \tag{14} ∂x∂(x⊤A)y=∂x∂yA⊤x+Ay(14)
因此经过维度的比较我们可以得到
∂ x ⊤ A x ∂ x = ( A ⊤ + A ) x (14) \frac {\partial \bf x^\top A x}{\partial \bf x} = (\bf A^\top + A)x\tag{14} ∂x∂x⊤Ax=(A⊤+A)x(14)
通过以上两个示例的学习，我们可以知道在求解复杂矩阵的求导问题时，通过维度来判断矩阵的导数形式很简便同时也不容易出错。下图是机器学习中常见的矩阵求导形式，可供参考：
5 总结
在本文中，我们针对机器学习推导中的矩阵求导问题做了一个全面的分析，同时结合前文 深度学习系列（二）——机器学习中的线性代数知识 介绍的机器学习中线性代数的基础知识，我们对线性代数部分做了详细的了解。下一章我们介绍机器学习中涉及到的概率知识。
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