三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)

样条插值是一种工业设计中常用的、得到平滑曲线的一种插值方法，三次样条又是其中用的较为广泛的一种。本篇介绍力求用容易理解的方式，介绍一下三次样条插值的原理，并附C语言的实现代码。

1. 三次样条曲线原理

假设有以下节点

1.1 定义

样条曲线 是一个分段定义的公式。给定n+1个数据点，共有n个区间，三次样条方程满足以下条件：

a. 在每个分段区间 （i = 0, 1, …, n-1，x递增），  都是一个三次多项式。

b. 满足 （i = 0, 1, …, n ）

c.  ，导数 ，二阶导数 在[a, b]区间都是连续的，即曲线是光滑的。

所以n个三次多项式分段可以写作：

 ，i = 0, 1, …, n-1

其中ai, bi, ci, di代表4n个未知系数。

1.2 求解

已知:

a. n+1个数据点[xi, yi], i = 0, 1, …, n

b. 每一分段都是三次多项式函数曲线

c. 节点达到二阶连续

d. 左右两端点处特性（自然边界，固定边界，非节点边界）

根据定点，求出每段样条曲线方程中的系数，即可得到每段曲线的具体表达式。

插值和连续性：

, 其中 i = 0, 1, …, n-1

微分连续性：

 , 其中 i = 0, 1, …, n-2

样条曲线的微分式：

将步长 带入样条曲线的条件：

a. 由 (i = 0, 1, …, n-1)推出

b. 由 (i = 0, 1, …, n-1)推出

c. 由  (i = 0, 1, …, n-2)推出

由此可得：

d. 由  (i = 0, 1, …, n-2)推出

设 ，则

a.  可写为：

 ，推出

b. 将ci, di带入  可得：

c. 将bi, ci, di带入 (i = 0, 1, …, n-2)可得：

端点条件

由i的取值范围可知，共有n-1个公式， 但却有n+1个未知量m 。要想求解该方程组，还需另外两个式子。所以需要对两端点x0和xn的微分加些限制。 选择不是唯一的，3种比较常用的限制如下。

a. 自由边界(Natural)

首尾两端没有受到任何让它们弯曲的力，即 。具体表示为 和 

则要求解的方程组可写为：

b. 固定边界(Clamped)

首尾两端点的微分值是被指定的，这里分别定为A和B。则可以推出

将上述两个公式带入方程组，新的方程组左侧为

c. 非节点边界(Not-A-Knot)

指定样条曲线的三次微分匹配，即

根据 和 ，则上述条件变为

新的方程组系数矩阵可写为：

右下图可以看出不同的端点边界对样条曲线的影响：

1.3 算法总结

假定有n+1个数据节点

a. 计算步长 (i = 0, 1, …, n-1)

b. 将数据节点和指定的首位端点条件带入矩阵方程

c. 解矩阵方程，求得二次微分值。该矩阵为三对角矩阵，具体求法参见我的上篇文章：三对角矩阵的求解。

d. 计算样条曲线的系数：

其中i = 0, 1, …, n-1

e. 在每个子区间 中，创建方程

2. C语言实现

用C语言写了一个三次样条插值(自然边界)的S-Function，代码如下：

#define S_FUNCTION_NAME cubic #define S_FUNCTION_LEVEL 2 #include "simstruc.h" #include "malloc.h" //方便使用变量定义数组大小 static void mdlInitializeSizes(SimStruct *S) { /*参数只有一个，是n乘2的定点数组[xi, yi]: * [ x1，y1; * x2, y2; * ..., ...; * xn, yn; */ ssSetNumSFcnParams(S, 1); if (ssGetNumSFcnParams(S) != ssGetSFcnParamsCount(S)) return; ssSetNumContStates(S, 0); ssSetNumDiscStates(S, 0); if (!ssSetNumInputPorts(S, 1)) return; //输入是x ssSetInputPortWidth(S, 0, 1); ssSetInputPortRequiredContiguous(S, 0, true); ssSetInputPortDirectFeedThrough(S, 0, 1); if (!ssSetNumOutputPorts(S, 1)) return; //输出是S(x) ssSetOutputPortWidth(S, 0, 1); ssSetNumSampleTimes(S, 1); ssSetNumRWork(S, 0); ssSetNumIWork(S, 0); ssSetNumPWork(S, 0); ssSetNumModes(S, 0); ssSetNumNonsampledZCs(S, 0); ssSetSimStateCompliance(S, USE_DEFAULT_SIM_STATE); ssSetOptions(S, 0); } static void mdlInitializeSampleTimes(SimStruct *S) { ssSetSampleTime(S, 0, CONTINUOUS_SAMPLE_TIME); ssSetOffsetTime(S, 0, 0.0); } #define MDL_INITIALIZE_CONDITIONS #if defined(MDL_INITIALIZE_CONDITIONS) static void mdlInitializeConditions(SimStruct *S) { } #endif #define MDL_START #if defined(MDL_START) static void mdlStart(SimStruct *S) { } #endif /* MDL_START */ static void mdlOutputs(SimStruct *S, int_T tid) { const real_T *map = mxGetPr(ssGetSFcnParam(S,0)); //获取定点数据 const int_T *mapSize = mxGetDimensions(ssGetSFcnParam(S,0)); //定点数组维数 const real_T *x = (const real_T*) ssGetInputPortSignal(S,0); //输入x real_T *y = ssGetOutputPortSignal(S,0); //输出y int_T step = 0; //输入x在定点数中的位置 int_T i; real_T yval; for (i = 0; i < mapSize[0]; i++) { if (x[0] >= map[i] && x[0] < map[i + 1]) { step = i; break; } } cubic_getval(&yval, mapSize, map, x[0], step); y[0] = yval; } //自然边界的三次样条曲线函数 void cubic_getval(real_T* y, const int_T* size, const real_T* map, const real_T x, const int_T step) { int_T n = size[0]; //曲线系数 real_T* ai = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1)); real_T* bi = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1)); real_T* ci = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1)); real_T* di = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1)); real_T* h = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1)); //x的?? /* M矩阵的系数 *[B0, C0, ... *[A1, B1, C1, ... *[0, A2, B2, C2, ... *[0, ... An-1, Bn-1] */ real_T* A = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2)); real_T* B = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2)); real_T* C = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2)); real_T* D = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2)); //等号右边的常数矩阵 real_T* E = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2)); //M矩阵 real_T* M = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n)); //包含端点的M矩阵 int_T i; //计算x的步长 for ( i = 0; i < n -1; i++) { h[i] = map[i + 1] - map[i]; } //指定系数 for( i = 0; i< n - 3; i++) { A[i] = h[i]; //忽略A[0] B[i] = 2 * (h[i] + h[i+1]); C[i] = h[i+1]; //忽略C(n-1) } //指定常数D for (i = 0; i 
  
    =0; i--) { X[i] = D[i] - C[i] * X[i+1]; } } #define MDL_UPDATE #if defined(MDL_UPDATE) static void mdlUpdate(SimStruct *S, int_T tid) { } #endif #define MDL_DERIVATIVES #if defined(MDL_DERIVATIVES) static void mdlDerivatives(SimStruct *S) { } #endif static void mdlTerminate(SimStruct *S) { } #ifdef MATLAB_MEX_FILE #include "simulink.c" #else #include "cg_sfun.h" #endif 
  

3. 例子

以y=sin(x)为例,  x步长为1，x取值范围是[0,9]。对它使用三次样条插值，插值前后对比如下：