算法导论 — 15.5 最优二叉搜索树

笔记

二叉搜索树满足如下性质：假设$x$是二叉搜索树中的一个结点。如果$l$是$x$的左子树的一个结点，那么$l.key\le x.key$。如果$r$是$x$的右子树的一个结点，那么$r.key\ge x.key$。
　　
　　也就是说，二叉搜索树中的任意一个结点，它的左子树中的所有结点都不大于它，它的右子树中的所有结点都不小于它。下图给出了一个二叉搜索树的例子。
　　
　　最优二叉搜索树(Optimal Binary Search Tree)问题描述如下。给定一个$n$个不同关键字的已排序的序列$K[1..n]=<k_1,k_2,\dots ,k_n>$（因此$k_1<k_2<\dots <k_n$），我们希望用这些关键字构造一个二叉搜索树。对每个关键字$k_i$，都有一个概率$p_i$表示其搜索概率。搜索过程中有可能遇到不在$K[1..n]$中的元素，因此我们还有$n+1$个元素的“伪关键字”序列$D[0..n]=<d_0,d_1,d_2,\dots ,d_n>$，表示搜索过程中可能遇到的所有不在$K[1..n]$中的元素。$d_0$表示所有小于$k_1$的元素；$d_n$表示所有大于$k_n$的元素；对$i=1,2,\dots ,n-1$，$d_i$表示所有在$k_i$到$k_{i+1}$之间的元素。对每个伪关键字$d_i$，也有一个概率$q_i$表示对应的搜索概率。在二叉搜索树中，伪关键字$d_i$必然出现在叶结点上，关键字$k_i$必然出现在非叶结点上。每次搜索要么成功（找到某个关键字$k_i$），要么失败（找到某个伪关键字$d_i$）。关键字和伪关键字的概率满足：
　　　　　　　　　　　　　　
　　假定一次搜索的代价等于访问的结点数，也就是此次搜索找到的结点在二叉搜索树中的深度再加$1$。给定一棵二叉搜索树$T$，我们可以确定进行一次搜索的期望代价。
　　　　　　　　
　　其中$dept{h}_T$表示一个结点在二叉搜索树$T$中的深度。
　　
　　对于一组给定的关键字和伪关键字，以及它们对应的概率，我们希望构造一棵期望搜索代价最小的二叉搜索树，这称之为最优二叉搜索树。现在我们用动态规划方法来求解最优二叉搜索树问题。

首先我们描述最优二叉搜索树问题的最优子结构：假设由关键字子序列$K[i..j]=<k_i,\dots ,k_j>$和伪关键字子序列$D[i-1..j]=<d_{i-1},\dots ,d_j>$构成的一棵最优二叉搜索树以$k_r(i\le r\le j)$为根结点。那么它的左子树由子序列$K[i..r-1]$和$D[i-1..r-1]$构成，这颗左子树显然也是一棵最优二叉搜索树。同样，它的右子树由子序列$K[r+1..j]$和$D[r..j]$构成，这颗右子树显然也是一棵最优二叉搜索树。
　　
　　这里有一个值得注意的细节—空子树。如果包含子序列$K[i..j]$的最优二叉搜索树以$k_i$为根结点。根据最优子结构性质，它的左子树包含子序列$K[i..i-1]$，这个子序列不包含任何关键字。但请注意，左子树仍然包含一个伪关键字$d_{i-1}$。同理，如果选择$k_j$为根结点，那么右子树也不包含任何关键字，而只包含一个伪关键字$d_j$。
　　
　　用$e[i,j]$表示包含关键字子序列$K[i..j]=<k_i,\dots ,k_j>$的最优二叉搜索树的期望搜索代价。我们最终希望计算出$e[1,n]$。
　　
　　对于$j=i-1$的情况，由于子树只包含伪关键字$d_{i-1}$，所以期望搜索代价为$e[i,i-1]=q_{i-1}$。
　　
　　当$j\ge i$时，我们要遍历以$k_i,k_{i+1},\dots ,k_j$作为根结点的情况，然后从中选择期望搜索代价最小的情况作为子问题的最优解。假设选择$k_r(i\le r\le j)$作为根结点，那么子序列$K[i..r-1]$构成的最优二叉搜索树作为左子树，左子树的期望搜索代价为$e[i,r-1]$；子序列$K[r+1..j]$构成的最优二叉搜索树作为右子树，右子树的期望搜索代价为$e[r+1,j]$。
　　
　　当一棵子树链接到一个根结点上时，子树中所有结点的深度都增加了$1$，那么这棵子树的期望搜索代价的增加值为它的所有结点的概率之和。对于一棵包含子序列$K[i..j]$的子树，所有结点的概率之和为
　　　　　　　　　　　　
　　接上文，若$k_r(i\le r\le j)$作为包含关键字子序列$K[i..j]$的最优二叉搜索树的根结点，可以得到如下公式
　　　　　　　　$e[i,j]=p_r+(e[i,r-1]+w[i,r-1])+(e[r+1,j]+w[r+1,j])$

由于$w[i,j]=w[i,r-1]+p_r+w[r+1,j]$，所以上式可重写为
　　　　　　　　$e[i,j]=e[i,r-1]+e[r+1,j]+w[i,j]$

我们要遍历以$k_i,k_{i+1},\dots ,k_j$作为根结点的情况，并选择期望搜索代价最小的情况作为子问题的最优解。于是我们可以得到下面的递归式。
　　　　　　　　
　　$e[i,j]$给出了最优二叉搜索树子问题的期望搜索代价。我们还需要记录最优二叉搜索树子问题的根结点，用$root[i,j]$来记录。
　　
　　根据上文给出的递归式，我们可以采用自下而上的动态规划方法来求解最优二叉搜索树问题。下面给出了伪代码。
　　
　　我们可以看到，该问题的求解过程与15.2节矩阵链乘法问题是很相似的。该算法的时间复杂度也与矩阵链乘法问题一样，都为$\Theta (n^3)$。

习题

15.5-1 设计伪代码$\text{CONSTRUCT-OPTIMAL-BST(root)}$，输入为表$root$，输出是最优二叉搜索树的结构。例如，对图15-10中的$root$表，应输出
　　$k_2$为根
　　$k_1$为$k_2$的左孩子
　　$d_0$为$k_1$的左孩子
　　$d_1$为$k_1$的右孩子
　　$k_5$为$k_2$的右孩子
　　$k_4$为$k_5$的左孩子
　　$k_3$为$k_4$的左孩子
　　$d_2$为$k_3$的左孩子
　　$d_3$为$k_3$的右孩子
　　$d_4$为$k_4$的右孩子
　　$d_5$为$k_5$的右孩子
　　与图15-9(b)中的最优二叉搜索树对应。
　　解
　　
15.5-2 若$7$个关键字的概率如下所示，求其最优二叉搜索树的结构和代价。

解
　　最优二叉搜索树如下所示。期望搜索代价为3.12。
　　
　　
　　
　　
15.5-3 假设$\text{OPTIMAL-BST}$不维护表$w[i,j]$，而是在第9行利用公式(15.12)直接计算$w[i,j]$，然后在第11行使用此值。如此改动会对渐近时间复杂性有何影响？
　　解
　　在每次迭代中，直接利用公式(15.12)计算$w[i,j]$需要的时间为$O(n)$。然而，$w[i,j]$的计算并不是在最后一层迭代中，并且计算$w[i,j]$的渐近时间与最后一层迭代的渐近时间是相同的。所以此改动并不改变$\text{OPTIMAL-BST}$的渐近时间。
　　
15.5-4 Knuth[212]已经证明，对所有$1\le i<j\le n$，存在最优二叉搜索树，其根满足$root[i,j-1]\le root[i,j]\le root[i+1,j]$。利用这一特性修改算法$\text{OPTIMAL-BST}$，使得运行时间减少为$\Theta (n^2)$。
　　解
　　在代码一中，在处理每个子问题$[i,j]$时，从$i$到$j$进行迭代（代码一第9行）。根据题目所给的结论，在处理每个子问题$[i,j]$时，可以改为从$root[i,j-1]$到$root[i+1,j]$进行迭代。下面给出了伪代码。
　　
　　现在分析$\text{OPTIMAL-BST-KNUTH}$的运行时间。
　　先考虑子问题规模$l>1$的情况。规模为$l$的子问题一共有$n-l+1$个（参见代码三第6行）。每个规模为$l$的子问题包含$(root[i+1,j]-root[i,j-1]+1)$次迭代（其中$j=i+l-1$），故求解所有规模为$l$的子问题所需的迭代次数为
　　　　　　　　
　　故求解所有规模为$l(l>1)$的问题的迭代次数为$\Theta (n)$。而每次迭代时间为$\Theta (1)$，故求解所有规模为$l$的子问题的时间为$\Theta (n)$。
　　而规模为$l=1$的子问题一共有$n$个，每个子问题需要$\Theta (1)$。故求解所有规模为$l=1$的子问题需要$\Theta (n)$时间。
　　子问题的规模$l$的取值有$n$种情况，故$\text{OPTIMAL-BST-KNUTH}$的运行时间为$\Theta (n^2)$。