矢量积与叉乘_向量积叉乘的几何意义

全栈程序员-站长 • 2025年7月28日下午9:01 • 未分类 • 阅读 0

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矢量叉乘，向量外积

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矢量叉乘，向量外积

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1. 矢量叉乘定义

定义两个向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ ，他们的叉乘可以写为
$\mathbf{a}\times\mathbf{b}$

本质上向量叉乘为向量旋转，满足右手螺旋准则；
叉乘结果是一个向量，向量模长是向量A，B组成平行四边形的面积；向量方向是垂直于向量A,B组成的平面；也叫向量积

与点乘不同之处是：点乘结果是一个数，表示两个向量的投影关系，也叫数量积
$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$

2. 模长

$|\mathbf{c}|=|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta$
$|\mathbf{c}|$ 长度在数值上等于以 $\mathbf{a}$ ， $\mathbf{b}$ ，夹角为θ组成的平行四边形的面积。
而c的方向垂直于 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 所决定的平面， $\mathbf{c}$ 的指向按右手定则从a转向b来确定。

3. 方向

$\mathbf{a}$ 向量与 $\mathbf{b}$ 向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从 $\mathbf{a}$ 以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是 $\mathbf{c}$ 的方向。）
在这里插入图片描述

4. 坐标运算

向量 $\mathbf{a}$ 的坐标表示
$\mathbf{a}=(a_x, a_y, a_z)$
向量 $\mathbf{a}$ 的坐标轴矢量表示
$\mathbf{a}=a_xi+a_yj+ a_zk$

其中矢量的x轴、y轴、z轴的单位矢量i、j、k、满足以下关系

$i\times j=k=-j\times i\\j\times k=i=-k\times j\\k\times i=j=-i\times k\\ i\times i=j\times j=k\times k=0$
其中的0为零矢量。
附加点乘的运算规则
$i\cdot j=k=-j\times i\\j\cdot k=i=-k\cdot j\\k\cdot i=j=-i\cdot k\\ i\cdot i=j\cdot j=k\cdot k=1$

$\begin{aligned} \mathbf{a}\times\mathbf{b}&=\begin{vmatrix} i&j&k\\ a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix}a_y&a_z\\b_y&b_z\end{vmatrix}i -\begin{vmatrix}a_x&a_z\\b_x&b_z\end{vmatrix}j + \begin{vmatrix}a_x&a_y\\b_x&b_y\end{vmatrix}k \\ &=(a_yb_z-a_zb_y)i + (a_zb_x-a_xb_z)j + (a_xb_y-a_yb_x)k \end{aligned}$

6. 叉乘矩阵（斜对称矩阵）

每一个矢量都一个对应的斜对称矩阵， $\mathbf{a}$
$[\mathbf{a}\times]=\begin{bmatrix}0&-a_y&a_z\\a_y&0&-a_x\\ -a_z &a_x &0\end{bmatrix}$

则两个矢量的叉乘可以写为
$\begin{aligned} \mathbf{a}\times\mathbf{b}&=[\mathbf{a}\times]\mathbf{b}\\ &=\begin{bmatrix}0&-a_y&a_z\\a_y&0&-a_x\\ -a_z &a_x &0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_x\\b_y\\ b_z\end{bmatrix} \end{aligned}$

性质：（ $A=[\mathbf{a}\times]$ ）
1- $A^T=-A$
2- $A$ ， $B$ 为斜对称矩阵，则 $A + B$ 为斜对称矩阵
3- $k$ 为偶数， $A^k$ 为对称矩阵； $k$ 为奇数， $A^k$ 为斜对称矩阵；

6. 叉乘运算规则

1、交换律： $a\times b=-b\times a$

2、分配律： $a\times （b+c)=a\times b +a\times c$

3、与标量r相乘： $ra\times b=r(a\times b )$

4、不满足结合律，但满足雅可比恒等式：： $a \times （ b \times c ） + b \times （ c \times a ） + c \times （ a \times b ） = 0$ 。

5 、两个非零向量a和b平行，当且仅当 $a \times b = 0$ 。

6、拉格朗日公式
$（ a \times b ） \times c = b （ a \cdot c ） - a （ b \cdot c ）$
$a \times （ b \times c ） = b （ a \cdot c ） - c （ a \cdot b ）$
证明如下图

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