机器学习算法与Python实践之（五）k均值聚类（k-means）

机器学习算法与Python实践之（五）k均值聚类（k-means）

zouxy09@.com

http://blog.csdn.net/zouxy09

       机器学习算法与Python实践这个系列主要是参考《机器学习实战》这本书。因为自己想学习Python，然后也想对一些机器学习算法加深下了解，所以就想通过Python来实现几个比较常用的机器学习算法。恰好遇见这本同样定位的书籍，所以就参考这本书的过程来学习了。

       机器学习中有两类的大问题，一个是分类，一个是聚类。分类是根据一些给定的已知类别标号的样本，训练某种学习机器，使它能够对未知类别的样本进行分类。这属于supervised learning（监督学习）。而聚类指事先并不知道任何样本的类别标号，希望通过某种算法来把一组未知类别的样本划分成若干类别，这在机器学习中被称作 unsupervised learning （无监督学习）。在本文中，我们关注其中一个比较简单的聚类算法：k-means算法。

一、k-means算法

       通常，人们根据样本间的某种距离或者相似性来定义聚类，即把相似的（或距离近的）样本聚为同一类，而把不相似的（或距离远的）样本归在其他类。

       我们以一个二维的例子来说明下聚类的目的。如下图左所示，假设我们的n个样本点分布在图中所示的二维空间。从数据点的大致形状可以看出它们大致聚为三个cluster，其中两个紧凑一些，剩下那个松散一些。我们的目的是为这些数据分组，以便能区分出属于不同的簇的数据，如果按照分组给它们标上不同的颜色，就是像下图右边的图那样：

       如果人可以看到像上图那样的数据分布，就可以轻松进行聚类。但我们怎么教会计算机按照我们的思维去做同样的事情呢？这里就介绍个集简单和经典于一身的k-means算法。

       k-means算法是一种很常见的聚类算法，它的基本思想是：通过迭代寻找k个聚类的一种划分方案，使得用这k个聚类的均值来代表相应各类样本时所得的总体误差最小。

       k-means算法的基础是最小误差平方和准则。其代价函数是：

       式中，μ_c(i)表示第i个聚类的均值。我们希望代价函数最小，直观的来说，各类内的样本越相似，其与该类均值间的误差平方越小，对所有类所得到的误差平方求和，即可验证分为k类时，各聚类是否是最优的。

      上式的代价函数无法用解析的方法最小化，只能有迭代的方法。k-means算法是将样本聚类成 k个簇（cluster），其中k是用户给定的，其求解过程非常直观简单，具体算法描述如下：

1、随机选取 k个聚类质心点

2、重复下面过程直到收敛  {

      对于每一个样例 i，计算其应该属于的类：

      对于每一个类 j，重新计算该类的质心：

}

      下图展示了对n个样本点进行K-means聚类的效果，这里k取2。

其伪代码如下：

**

创建k个点作为初始的质心点（随机选择）

当任意一个点的簇分配结果发生改变时

       对数据集中的每一个数据点

              对每一个质心

                     计算质心与数据点的距离

              将数据点分配到距离最近的簇

       对每一个簇，计算簇中所有点的均值，并将均值作为质心

**

二、Python实现

      我使用的Python是2.7.5版本的。附加的库有Numpy和Matplotlib。具体的安装和配置见前面的博文。在代码中已经有了比较详细的注释了。不知道有没有错误的地方，如果有，还望大家指正（每次的运行结果都有可能不同）。里面我写了个可视化结果的函数，但只能在二维的数据上面使用。直接贴代码：

kmeans.py

# # kmeans: k-means cluster # Author : zouxy # Date : 2013-12-25 # HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09 # Email :  # from numpy import * import time import matplotlib.pyplot as plt # calculate Euclidean distance def euclDistance(vector1, vector2): return sqrt(sum(power(vector2 - vector1, 2))) # init centroids with random samples def initCentroids(dataSet, k): numSamples, dim = dataSet.shape centroids = zeros((k, dim)) for i in range(k): index = int(random.uniform(0, numSamples)) centroids[i, :] = dataSet[index, :] return centroids # k-means cluster def kmeans(dataSet, k): numSamples = dataSet.shape[0] # first column stores which cluster this sample belongs to, # second column stores the error between this sample and its centroid clusterAssment = mat(zeros((numSamples, 2))) clusterChanged = True step 1: init centroids centroids = initCentroids(dataSet, k) while clusterChanged: clusterChanged = False for each sample for i in xrange(numSamples): minDist = .0 minIndex = 0 for each centroid step 2: find the centroid who is closest for j in range(k): distance = euclDistance(centroids[j, :], dataSet[i, :]) if distance < minDist: minDist = distance minIndex = j step 3: update its cluster if clusterAssment[i, 0] != minIndex: clusterChanged = True clusterAssment[i, :] = minIndex, minDist2 step 4: update centroids for j in range(k): pointsInCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:, 0].A == j)[0]] centroids[j, :] = mean(pointsInCluster, axis = 0) print 'Congratulations, cluster complete!' return centroids, clusterAssment # show your cluster only available with 2-D data def showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment): numSamples, dim = dataSet.shape if dim != 2: print "Sorry! I can not draw because the dimension of your data is not 2!" return 1 mark = ['or', 'ob', 'og', 'ok', '^r', '+r', 'sr', 'dr', ' 
  
    len(mark): print "Sorry! Your k is too large! please contact Zouxy" return 1 # draw all samples for i in xrange(numSamples): markIndex = int(clusterAssment[i, 0]) plt.plot(dataSet[i, 0], dataSet[i, 1], mark[markIndex]) mark = ['Dr', 'Db', 'Dg', 'Dk', '^b', '+b', 'sb', 'db', ' 
    
  

三、测试结果

      测试数据是二维的，共80个样本。有4个类。如下：

testSet.txt

1. 4. -3. 3. 4. -1. -5. -3. 0. 2. -3. 1. 0. -3. -3. -1. 2. 1. -3. 3. 3. -3. -2. -3.099354 4. 2. -2. 2. 0. -0. -0. -3. 2. 1. -0. 3. 2. -3. -3. -2. 2. 2. -1. 2. 2. -1. -3. -2. 1. 3. -1. 2. 2. -2.054368 -4.007257 -3. 2. 3. -2. 0. 0. -4.023563 -3. -2. 2.046259 2. -3. 1. 4. -0. -2. -3. 1. 5. -0. 2. 2. -2. -3. -3. 2.096701 3. -2. 2. 3. -3. -2. -4. 2. 3. -3. 3. 3.091414 -3. -3. -2. 3. 2. -1. 4. 2. -2. -4. -3. 3. 5. -4. 3. 2. -3. -4.009299 -2. 2. 1. -2. 2. 1. -3. -3. -3. 2. 2. -2. 2. 3. -3. -2. -2.012114 3. 3. -1. 3. 2. -2. -2. -3. 2. 3. -1. 2. 3.031012 -3. -4. -2. 4. 1. -2. 3.093686 4. -2. -2. -2. 2. 3.043438 -2. 2. 4. -1. -4. -2.

测试代码：

test_kmeans.py

# # kmeans: k-means cluster # Author : zouxy # Date : 2013-12-25 # HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09 # Email :  # from numpy import * import time import matplotlib.pyplot as plt step 1: load data print "step 1: load data..." dataSet = [] fileIn = open('E:/Python/Machine Learning in Action/testSet.txt') for line in fileIn.readlines(): lineArr = line.strip().split('\t') dataSet.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])]) step 2: clustering... print "step 2: clustering..." dataSet = mat(dataSet) k = 4 centroids, clusterAssment = kmeans(dataSet, k) step 3: show the result print "step 3: show the result..." showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment)

运行的前后结果是：

不同的类用不同的颜色来表示，其中的大菱形是对应类的均值质心点。

四、算法分析

       k-means算法比较简单，但也有几个比较大的缺点：

（1）k值的选择是用户指定的，不同的k得到的结果会有挺大的不同，如下图所示，左边是k=3的结果，这个就太稀疏了，蓝色的那个簇其实是可以再划分成两个簇的。而右图是k=5的结果，可以看到红色菱形和蓝色菱形这两个簇应该是可以合并成一个簇的：

（2）对k个初始质心的选择比较敏感，容易陷入局部最小值。例如，我们上面的算法运行的时候，有可能会得到不同的结果，如下面这两种情况。K-means也是收敛了，只是收敛到了局部最小值：

（3）存在局限性，如下面这种非球状的数据分布就搞不定了：

（4）数据库比较大的时候，收敛会比较慢。

       k-means老早就出现在江湖了。所以以上的这些不足也被世人的目光敏锐的捕捉到，并融入世人的智慧进行了某种程度上的改良。例如问题（1）对k的选择可以先用一些算法分析数据的分布，如重心和密度等，然后选择合适的k。而对问题（2），有人提出了另一个成为二分k均值（bisecting k-means）算法，它对初始的k个质心的选择就不太敏感，这个算法我们下一个博文再分析和实现。

五、参考文献

[1] K-means聚类算法

[2] 漫谈 Clustering (1): k-means