什么是威布尔分布
在对设备的故障进行分析时，如果能够找到故障的规律，并将这些规律用数学模型表述出来，从而便于人们对设备的运行趋势有足够判断，这样的过程称为可靠性分析。通常情况下，这些数学模型为某些故障概率，带有一些未知参数，通过对参数的估计得到准确的参数。威布尔分布函数模型就是这样典型的可靠性模型，常用于设备的研究中。威布尔分布分为两参数和三参数。
威布尔分布的参数估计方法
常用最小二乘法用于求得威布尔分布的参数 β \beta β和 η \eta η
上式整理后两边取两次自然对数得
l n l n 1 1 − F ( t ) = β l n ( t ) − β l n ( η ) lnln\frac{1}{1-F(t)}=\beta ln(t)-\beta ln(\eta ) lnln1−F(t)1=βln(t)−βln(η)
令
{ y = l n l n [ 1 1 − F ( t ) ] x = l n ( t ) b = − β l n ( η ) w = β \left\{\begin{matrix} y=ln ln\left [ \frac{1}{1-F(t)} \right ] \\x=ln(t) \\b=-\beta ln(\eta ) \\w=\beta \end{matrix}\right. ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧y=lnln[1−F(t)1]x=ln(t)b=−βln(η)w=β
即可得到如下形式
y = b + w x y=b+wx y=b+wx
利用得到的样本数据
( x 1 , y 1 ) ⋯ ( x n , y n ) (x_1,y_1) \cdots (x_n,y_n) (x1,y1)⋯(xn,yn)
来估计得到 w ^ \hat{w} w^和 b ^ \hat{b} b^即可代替 w w w和 b b b作为参数：
y i = b ^ + w ^ x i y_i=\hat{b}+\hat{w}x_i yi=b^+w^xi
那么估计值和真实值之间的距离为
y i − y i ^ = y i − b ^ − w ^ x i y_i-\hat{y_i}=y_i-\hat{b}-\hat{w}x_i yi−yi^=yi−b^−w^xi
而最小二乘法拟合直线的本质是找到到所有样本点距离最小的直线
因此拟合的损失函数为
Q ( w , b ) = ∑ i = 1 n ( y i − b − w x i ) 2 Q(w,b)=\sum_{i=1}^{n}(y_i-b-wx_i)^2 Q(w,b)=i=1∑n(yi−b−wxi)2
最终的目标为
Q ( w ^ , b ^ ) = m i n Q ( w , b ) Q(\hat{w},\hat{b})=min Q(w,b) Q(w^,b^)=minQ(w,b)
因此通过求偏导数，如下：
{ ∂ Q ∂ w = − 2 ∑ i = 1 n ( y i − b − w x i ) x i = 0 ∂ Q ∂ b = − 2 ∑ i = 1 n ( y i − b − w x i ) = 0 \left\{\begin{matrix} \frac{\partial Q}{\partial w}=-2\sum_{i=1}^{n}(y_i-b-wx_i)x_i=0 \\ \frac{\partial Q}{\partial b}=-2\sum_{i=1}^{n}(y_i-b-wx_i)=0 \end{matrix}\right. {
∂w∂Q=−2∑i=1n(yi−b−wxi)xi=0∂b∂Q=−2∑i=1n(yi−b−wxi)=0
解之得
{ w ^ = ∑ i = 1 n x i y i − n x ˉ y ˉ ∑ i = 1 n x i 2 − n x ˉ 2 b ^ = y ˉ − x ˉ w ^ \left\{\begin{matrix} \hat{w}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_iy_i-n\bar{x}\bar{y}}{\sum_{i=1}^{n}x_i^2-n\bar{x}^2} \\ \hat{b}=\bar{y}-\bar{x}\hat{w} \end{matrix}\right. {
w^=∑i=1nxi2−nxˉ2∑i=1nxiyi−nxˉyˉb^=yˉ−xˉw^
其中 x ˉ = 1 n ∑ i = 1 n x i \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i xˉ=n1∑i=1nxi， y ˉ = 1 n ∑ i = 1 n y i \bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i yˉ=n1∑i=1nyi，更进一步得
{ β ^ = ∑ i = 1 n x i y i − n x ˉ y ˉ ∑ i = 1 n x i 2 − n x ˉ 2 η ^ = e x ˉ − y ˉ β \left\{\begin{matrix} \hat{\beta }=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_iy_i-n\bar{x}\bar{y}}{\sum_{i=1}^{n}x_i^2-n\bar{x}^2} \\ \hat{\eta }=e^{\bar{x}-\frac{\bar{y}}{\beta }} \end{matrix}\right. {
β^=∑i=1nxi2−nxˉ2∑i=1nxiyi−nxˉyˉη^=exˉ−βyˉ
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