正规矩阵
正规矩阵是很重要也很特殊的一类矩阵，因为它能使得谱定理成立，也一定能够酉相似对角化
在数学中，正规矩阵 (英语: normal matrix) A \mathbf{A} A 是与自己的共轭转置满 足交换律的实系数方块矩阵，也就是说， A \mathbf{A} A 满足
A ∗ A = A A ∗ \mathbf{A}^{*} \mathbf{A}=\mathbf{A} \mathbf{A}^{*} A∗A=AA∗
其中 A ∗ \mathbf{A}^{*} A∗ 是 A \mathbf{A} A 的共轭转置。
如果 A \mathbf{A} A 是实系数矩阵, 则 A ∗ = A T \mathbf{A}^{*}=\mathbf{A}^{T} A∗=AT, 从而条件简化为 A T A = A A T \mathbf{A}^{T} \mathbf{A}=\mathbf{A} \mathbf{A}^{T} ATA=AAT 其 中 A T \mathbf{A}^{T} AT 是 A \mathbf{A} A 的转置矩阵。
- 前面说到，一个线性变换可以用矩阵来表示。而正规算子用矩阵来表示，得到的就是一个正规矩阵。任何一个正规矩阵，都是某个正规算子在一组标准正交基下的矩阵；反之，任一正规算子在一组标准正交基下的矩阵都为正规矩阵。从这里看出来，因为正规算子是很稀少的，所以正规矩阵也是很稀少的一种矩阵
- 矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简便方法: 任意正规矩阵都 可在经过一个酉变换后变为对角矩阵，反过来所有可在经过一个酉变换后 变为对角矩阵的矩阵都是正规矩阵。矩阵可酉相似对角化的充要条件是它为正规矩阵(注意是对角化不是三角化)。还要注意一点，相似对角化的条件很弱(特征向量够多)，酉相似对角化的条件很强(需要正规矩阵)
对二阶方阵的一些分析
首先明白一个定理: 任何矩阵都可以通过相似变换变换为上三角矩阵
- 标准形式
Thm. T 2 × 2 ⇒ T ≅ [ a b 0 c ] , b ≥ 0 , uniquely (except a,c may interchange) \text { Thm. } T \quad 2 \times 2 \Rightarrow T \cong\left[\begin{array}{ll} a & b \\ 0 & c \end{array}\right], \mathrm{b} \geq 0 \text {, uniquely (except a,c may interchange) } Thm. T2×2⇒T≅[a0bc],b≥0, uniquely (except a,c may interchange)
- 酉等价
T 1 , T 2 2 × 2 T_{1}, T_{2} 2 \times 2 T1,T22×2
(i) T 1 ≅ T 2 ⇔ T_{1} \cong T_{2} \Leftrightarrow T1≅T2⇔ same canonical form.
(ii) T 1 ≅ T 2 ⇔ tr T 1 = tr T 2 , tr T 1 2 = tr T 2 2 ⏟ ↓ & tr ( T 1 ∗ T 1 ) = tr ( T 2 ∗ T 2 ) T_{1} \cong T_{2} \Leftrightarrow \underbrace{\operatorname{tr} T_{1}=\operatorname{tr} T_{2}, \operatorname{tr} T_{1}^{2}=\operatorname{tr} T_{2}^{2}}_{\mathbb{\downarrow}} \& \operatorname{tr}\left(T_{1}^{*} T_{1}\right)=\operatorname{tr}\left(T_{2} * T_{2}\right) T1≅T2⇔↓
trT1=trT2,trT12=trT22&tr(T1∗T1)=tr(T2∗T2)
T 1 , T 2 T_{1}, T_{2} T1,T2 same eigenvalues. Hilbert-Schmidt norm same
(Reason: tr T = \operatorname{tr} T= trT= sum of eigenvalues of T T T )
(iii) T 1 ≅ T 2 ⇔ tr T 1 = tr T 2 , det T 1 = det T 2 ⏟ ↓ & ∥ T 1 ∥ F = ∥ T 2 ∥ F T_{1} \cong T_{2} \Leftrightarrow \underbrace{\operatorname{tr} T_{1}=\operatorname{tr} T_{2}, \operatorname{det} T_{1}=\operatorname{det} T_{2}}_{\mathbb{\downarrow}} \&\left\|T_{1}\right\|_{F}=\left\|T_{2}\right\|_{F} T1≅T2⇔↓
trT1=trT2,detT1=detT2&∥T1∥F=∥T2∥F.
same eigenvalues.
(Reason: det T = \operatorname{det} T= detT= product of eigenvalues of T T T )
(iv) T 1 ≅ T 2 ⇔ W ( T 1 ) = W ( T 2 ) T_{1} \cong T_{2} \Leftrightarrow W\left(T_{1}\right)=W\left(T_{2}\right) T1≅T2⇔W(T1)=W(T2).
- 一些数值性质
Def. T ∈ n × n , W ( T ) = { ⟨ T x , x ⟩ : x ∈ C n ; ∥ x ∥ = 1 } ⊆ C T \in n \times n, W(T)=\left\{\langle T x, x\rangle: x \in \mathbb{C}^{n} ;\|x\|=1\right\} \subseteq \mathbb{C} T∈n×n,W(T)={
⟨Tx,x⟩:x∈Cn;∥x∥=1}⊆C
Hausdorff-Toeplitz:
W ( T ) W(T) W(T) is convex in C \mathbb{C} C.
Thm. (O. Toeplitz, 1918)
T = [ a b 0 c ] ⇒ W ( T ) = T=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ 0 & c\end{array}\right] \Rightarrow W(T)= T=[a0bc]⇒W(T)= elliptic disc, foci at a , c a, c a,c & length of minor axis = ∣ b ∣ =|\mathrm{b}| =∣b∣.
即对长度为1的向量来说，用内积
张成的一定是一个凸集。不仅如此，海是一个以a、c为焦点、以b为短轴长度的椭圆
矩阵的四个基本子空间
矩阵 A m × n 的四个基本子空间 : 列空间 C ( A ) ，行空间 C ( A T ) ， 零空间 N ( A ) ， A T 的零空间 N ( A T ) 若 rank ( A ) = r ， 则 dim ( C ( A ) ) = dim ( C ( A T ) ) = r ， dim ( N ( A ) ) = n − r ， dim ( N ( A T ) ) = m − r \begin{aligned} &\text { 矩阵 } A_{m \times n} \text { 的四个基本子空间 : } \\ &\text { 列空间 } C(A) \text { ，行空间 } C\left(A^{T}\right) \text { ， } \\ &\text { 零空间 } N(A) \text { ， } A^{T} \text { 的零空间 } N\left(A^{T}\right) \\ &\text { 若 } \operatorname{rank}(A)=r \text { ， } \\ &\text { 则 } \operatorname{dim}(C(A))=\operatorname{dim}\left(C\left(A^{T}\right)\right)=r \text { ， } \\ &\operatorname{dim}(N(A))=n-r ， \operatorname{dim}\left(N\left(A^{T}\right)\right)=m-r \end{aligned} 矩阵 Am×n 的四个基本子空间 : 列空间 C(A) ，行空间 C(AT) ， 零空间 N(A) ， AT 的零空间 N(AT) 若 rank(A)=r ， 则 dim(C(A))=dim(C(AT))=r ， dim(N(A))=n−r，dim(N(AT))=m−r
- 矩阵”三秩合一”，行秩=列秩=矩阵秩。这个定理的证明都是一些很不直观的证法，很技巧化，不用深究
- 所谓零空间是指Ax=0的解空间。显然有 d i m ( N ( A ) ) + d i m ( C ( A ) ) = r ( A ) dim(N(A))+dim(C(A))=r(A) dim(N(A))+dim(C(A))=r(A)，从而可以得到 d i m ( N ( A ) ) = d i m ( C ( A ) ) − r dim(N(A))=dim(C(A))-r dim(N(A))=dim(C(A))−r
正交矩阵
正交矩阵(更合适的说法是正交规范矩阵，因为它不仅要求列列正交，还要求每列的模为1)是比正规矩阵更特殊的矩阵，它要求
Q T Q = Q Q T = I Q^{T} Q=Q Q^{T}=I QTQ=QQT=I
而正规矩阵只要求
Q ∗ Q = Q Q ∗ \mathbf{Q}^{*} \mathbf{Q}=\mathbf{Q} \mathbf{Q}^{*} Q∗Q=QQ∗
几个特殊的正交矩阵
旋转矩阵与反射矩阵
rotation matrix: reflection matrix:
二维的旋转代表某个点(或者)绕着原点逆时针旋转 θ \theta θ度，三维的旋转代表绕着某个轴旋转$\theta $度，下面的左式即旋转矩阵
反射矩阵的含义是，使某个向量绕某个与之成 θ 2 \frac{\theta}{2} 2θ射线进行反射
[ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ cos θ sin θ sin θ − cos θ ] \left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right] \quad\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right] [cosθsinθ−sinθcosθ][cosθsinθsinθ−cosθ]
小波矩阵
哈达玛矩阵
Hadamard matrix:
H2为2X2的方阵，H4由H2构造出来，为4X4的矩阵，H8用相同方法构造出来，为8X8的矩阵
H 2 = [ 1 1 1 − 1 ] , H 4 = [ H 2 H 2 H 2 − H 2 ] , H 8 = … H_{2}=\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right], H_{4}=\left[\begin{array}{cc} H_{2} & H_{2} \\ H_{2} & -H_{2} \end{array}\right], H_{8}=\ldots H2=[111−1],H4=[H2H2H2−H2],H8=…
Householder矩阵
Householder matrix:
判断矩阵是否正定
Symmetric positive definite matrix S:
- All λ i > 0 \lambda_{i}>0 λi>0;
- Energy x T S x > 0 x^{T} S x>0 xTSx>0, for x ≠ 0 x \neq 0 x=0;
- S = A T A S=A^{T} A S=ATA, columns in A A A are indep.;
- All leading determinants > 0 >0 >0;
- All pivots in elimination > 0 >0 >0.
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