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序列，级数，柯西收敛准则，无穷级数定理

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序列，级数，柯西收敛准则，无穷级数定理1 无穷序列 若一个序列 u1 u2 u3 对于任意一个整数 注 可无限小 都存在当 nN 时 都有 u1 k 2 设 displaystyle u n 是一个无穷序列 displaystyle 1 u 2 u 3 u n 其前 n 项的和称为 displaystyle sumu n 的部分和 di

1、无穷序列：若一个序列u1,u2,u3…对于任意一个整数ε（注：可无限小） ，都存在当n>N时，都有|u1-k|
<ε，则称k为序列{ui}的极限。如果一个序列的极限存在，我们称其为收敛的，否则序列是发散的。如序列{1，2,3,4,5…}是发散的，序列1,1.1,1.11，1.111,1.1111…时收敛的，序列1，-1,1，-1,1，-1…也是收敛的。< p="">

2、

设{\displaystyle (u_{n})}(u_{n})是一个无穷序列 ：{\displaystyle u_{1},u_{2},u_{3},…u_{n},…}u_{1},u_{2},u_{3},...u_{n},...，其前n项的和称为{\displaystyle \sum u_{n}}\sum u_{n}的部分和：

{\displaystyle s_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+…+u_{n}}
s_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+...+u_{n}

{\displaystyle (u_{n})}(u_{n})部分和依次构成另一个无穷序列：{\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},…s_{n},…}s_{1},s_{2},s_{3},...s_{n},...

这两个序列合称为一个级数，记作{\displaystyle \sum u_{n}}\sum u_{n}或者{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}，其中{\displaystyle \sum }\sum 符號為求和号。

3、柯西收敛准则：对于一个序列{un}，对于任意的正数ε，若存在一个N，当p,q>N时，都有|up-uq| < ε，则这个序列是收敛的。

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