两式相加得
当 $k$ 为偶数时，经过类似的推导，可得
容易验证，当 $k = 0$ 时，上式仍成立。于是，对任意 $0 \le k \le n$ 有
亦即
为了简便，将 $ \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i}$ 记做 $S(n, k)$ 。反复使用 \eqref{E:1} 式，可以得到
Reference
- https://mathoverflow.net/questions/17202/sum-of-the-first-k-binomial-coefficients-for-fixed-n
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