本篇幅是关于大部分不定积分计算的总结。
该部分内容会涉及到某些三角函数的知识，大家有空的时候去看下我之前的文章。山城门徒：高中三角函数公式推理&记忆zhuanlan.zhihu.com
文中若有错误的地方，恳请广大”乎友、带佬”们指正；若对你的学习有帮助，请不忘点个赞(不要只收藏)或转发给你身边正在备考、学习的同学，在下表示万分感谢。
图1 分割线内容概要
★不定积分的相关概念
★常用不定积分公式
★常用不定积分计算方法
★结束语
以下内容中，重点地方和公式推理会用黑体加以呈现；部分重要说明用斜体加以区别。不定积分的相关概念
一、原函数与不定积分
设函数
定义在某区间Ⅰ上若存在可导函数
，对于该区间上任意一点都有
成立，则称
是
在区间Ⅰ上的一个原函数。
于是称
=
为
在区间Ⅰ上的不定积分，其中C为任意常数(后面不再强调)。
PS：谈到函数
的原函数和不定积分，必须指明
所在定义的区间。
二、原函数与不定积分的区别
我们通过对概念的说明去加以区别。
1.原函数：若
在区间Ⅰ上有原函数
，则
就有无限多个原函数，且任意两个原函数之间仅相差一个常数。
所以
的全体原函数所构成的集合为
2.不定积分：设
,
是
在区间Ⅰ上的原函数，虽有
=
和
=
，但
=
不一定成立，因为常数C一般是不相同的。
由此可见，二者在概念上存在较大的差异：前者是个无限集，后者是前者中的一个元素。
三、不定积分与微分的关系
口诀：先积后微，形式不变；先微后积，相差一个常数。
1.
或
(先积后微，形式不变)
2.
或
(先微后积，相差个常数)常用不定积分公式(基本积分公式)
这一板块灰常重要！！It’s important↓↓↓
1-① :
(
是常数)；
1-②:
(
)，当
取
、
、-2时可得到常用的结论。图1 1-②常用结论
1-③:
;
1-④:
;
(
);
1-⑤:
;
;
;
;
1-⑥:
1-⑦:
;
;
1-⑧:
;
;
1-⑨:
(
);
(
);
1-⑩:
(
);
(
);
1-⑪:
(
);
(
);
PS:我们可以得出两个很重要的求导公式
※
※：
(
);
1-⑫:
;
;
1-⑬:
;
;
;
；
补充几个有用的：
1-⑭：
这些不定积分请大家熟悉在心，恋恋不忘，必有回响！常用不定积分计算方法
这一个板块将为大家呈现常用的计算方法，也是做题的基本依据。部分内容引用自数分、高数18讲。
一、凑微分法(第一类换元积分)
1.基本思想:
,
2.说明：当被积函数有一部分比较复杂时，我们可以通过观察把某些函数放到d的后面(放在d后面的函数会发生变化)，使得d后面的函数与前面复杂的被积函数具有相似的结构，最后运用基本积分公式将其求出(若不能求出的话则进一步运用其它方法求出)。
3.举例说明
⑴、计算：
通过观察我们发现
这部分较复杂，且
,我们发现将
进行积分后的函数与前面复杂的函数具有相似的结构(都有
),最后运用基本积分公式求出(当然这里凑微分时要凑成
，然后不定积分前乘
即可)。
解：原式
⑵、计算：
(数学分析例题)
这种类型积分比较复杂，直接给大家说明，这种不定积分凑
比较合适，最常见的方法是三角代换(第二类换元积分将会陈述)。
解：原式
(根式提个x出来，便于凑
)
(凑微分)
(根式提个3出来，使得2次项系数为1)
(分母凑完全平方)
(基本积分1-⑩)
PS:凑微分时加不加常数无影响，即
第一类换元法实质上是求复合函数导数的逆过程！
4.常见凑微分公式总结
2-①：
(
)
2-②：
(
)
2-③：
(
)
2-④：
2-⑤：
2-⑥：
2-⑦：
(
)
2-⑧：
2-⑨：
2-⑩：
2-⑪：
二、换元法(第二类换元积分)
1.基本思想:
,
2.说明:当被积函数比较复杂时，可以通过换元的方法从d后面的函数放一部分到前面来，使其更容易积分。
3.举例说明：
⑴、计算：
通过观察发现分母是
的形式，于是想到三角代换(
)。
解：令
，则
于是原式
PS:
，其中
然后画一个三角形(刚才令的
，画草图的时候对边为x，邻边为1，角度为u)图2 辅助三角形
由三角形可以得到
;
,代入上式得
下面这道题还是用刚才那一道来举例：
⑵、计算：
解:原式：
(想到:
)
(令
)
(用万能代换——
，具体内容见总结⑤)
(基本积分1-⑨)
由
可知，
，画出辅助三角形图3 辅助三角形
由三角形可以得到
根据公式
,将sinu、cosu的表达式代入上式得
4.总结常见的换元方法(部分引用18讲)
①三角函数代换——当被积函数含有以下根式时，可以用三角代换，这里a>0图4 三角代换法则
PS：某些根式
,可通过配方后恒等变形化为以下三种模型。
、
、
(比如:
)
②根式代换——当被积函数含有
、
、
等时，一般令
(有时候根号很难去掉)
例、计算
(同济教材习题4-4，NO.23)
解法一：令
,则
原式
(公式1-⑨ 、⑫)
当然，本题也可以这样来处理。
解法二：原式
令
原式
根据三角代换得，
原式
若被积函数中即含有
,又含有
的结构，令
(
为m、n的最小公倍数 )
例、计算
(同济教材习题4-4，NO.22)
解：首先观察被积函数中即含有
(2次根),又含有
(4次根)的结构，则最小公倍数为4，
于是令
(
)。
原式
(技巧)
③倒代换——在被积函数中，分母的次数比分子的次数高2次及以上时(不是所有都行得通)，可令
。
例、计算：
解：宏观的看，分母次数高于分子次数，令
。
原式
④其它代换——若被积函数中含有
、
、
、
等之类时，可以把这些函数令为t。若
、
、
与
或
作乘法时(
为x的n次多项式),优先考虑分部积分法。
例、计算：
解：令
，则
.
原式：
(分部积分法)
画一个辅助三角形(
)图5 辅助三角形
由图可知，
故原式=
⑤万能代换——
是三角函数有理式不定积分，一般令
可以将其化为有理函数的不定积分。
由
，根据万能公式得
则
例、计算：
解：令
,
原式
⑥关于三角函数的几种变换
遇到三角有理函数的不定积分，并不是所有的都要通过万能代换去处理，这里总结了部分相关结论(实质上是某些凑微分的过程换了个说法而已)。
⑴、如果
是关于cosx的奇函数，即
，则令
.
⑵、如果
是关于six的奇函数，即
，则令
.
⑶、如果
是既关于six的偶函数，又是关于cosx的偶函数，即
，则令
.
这里就⑶举个例子。
例、计算
解：很明显这是一个关于sinx、cosx的偶函数。令
原式
(这里的被积函数可以理解为是和t有关的函数，即可以等价变为t的函数从而继续进行计算)
(同时除以
)
(转化为t的被积函数)
(同时除以t²)
(凑微分)
⑦欧拉(Euler)变换
欧拉变换的也可以将含有根式的不定积分化为有理函数的积分。
⑴、当
时，令
；
⑵、当
时，令
；
⑶、当
时，令
或
例、计算：
解：作欧拉变换，令
,解得
原式
⑧对于
，
，
(
)类型，可利用积化和差来计算。
⑨对于
类型，若当m、n中有一个奇数，可拆开利用凑微分法来计算；
若m、n都是偶数，可利用倍角公式逐步求出不定积分。
⑩对于
、
类型积分，可利用分部积分法导出递推公式计算。
三、分部积分法
1.基本思想：
(更好积分)
2.口诀：反、对、幂、三、指(指、三)，谁在前，谁不动；谁在后，d进去(放在d后面)。
3.说明
①比如被积函数中出现了反函数和三角函数，根据口诀顺序就把三角函数放在d后面，其它的情况类似(若函数中出现三角函数和指数函数的情形，把谁放在d后面都可以)。
②分部积分法习惯上去用下方表格去计算表6 分部积分法表格
4.例题分析
⑴、常规型——计算：
(同济教材习题4-3，NO.17)
解：观察发现被积函数是由幂函数和三角函数组成，根据口诀把三角函数放在d后面(
)表7 常规型计算
由表格可知
原式
⑵、循环型——计算：
(同济教材习题4-3，NO.7)
解：观察发现被积函数是由指数函数和三角函数组成，根据口诀可以把三角函数或指数函数放在d后面(在这里令
)表8 循环型计算
由表格可知
由此可见，这种算法多见于指数函数和三角函数的情形
⑶、变通型——计算：
(同济教材习题4-3，NO.9)
解：观察发现被积函数是由反三角函数和幂函数组成，根据口诀把幂函数放在d后面(令
)表9 常规型计算(行不通)
这种方法似乎行不通，原因是arctanx求导后一直不为0，这里要对表格求导后的那一列作一个调配(见表10)。表10 变通型计算
由表可知
原式
PS:①该方法实质上是部分计算过程中换了种形式而已。
②重新调配的结果不影响符号变化：因为我们是将第二列作了调配，所以后面的符号按照第二列确定。
四、有理函数的积分
由于内容过多，决定单独列成一章，见下所示。TianX：有理函数不定积分计算法则——留数拆分法zhuanlan.zhihu.com结束语
写到最后。以上内容是本人在复习的时候对付不定积分常用的方法，仅供参考。
In The End.
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