正交多项式拟合函数

全栈程序员-站长 • 2026年3月18日下午2:48 • 未分类 • 阅读 2

实验要求：

给定函数f(x)在 m 个采样点处的值f()以及每个点的权重（1<= i <= m），求曲线拟合的正交多项式正交多项式拟合函数，满足最小二乘误差

正交多项式拟合函数。

函数接口定义：

int OPA( double (*f)(double t), int m, double x[], double w[], double c[], double *eps )

在接口定义中：f是给定函数f(x)，m为采样点个数，x传入m个采样点，w传入每个点的权重；c传回求得的曲线拟合的正交多项式正交多项式拟合函数的系数，eps传入最小二乘误差上限TOL，并且传回拟合的实际最小二乘误差

正交多项式拟合函数。

另外，在裁判程序中还定义了常数MAXN，当拟合多项式的阶数达到MAXN却仍未达到精度要求时，即返回 n = MAXN时的结果。

伪代码：

Algorithm: Orthogonal Polynomials Approximation

To approximate a given function by a polynomial with error bounded

by a given tolerance.

Input: number of data m; x[m]; y[m]; weight w[m]; tolerance TOL;

maximum degree of polynomial Max_n.

Output: coefficients of the approximating polynomial.

1 Set j0(x) º 1; a0 = (j0, y)/(j0, j0); P(x) = a0 j0(x); err = (y, y) – a0 (j0, y);
2 Set a1= (xj0, j0)/(j0, j0); j1(x) = (x – a1) j0(x);
1 = (j1, y)/(j1, j1); P(x) += a1 j1(x); err -= a1 (j1, y);

Step 3 Set k = 1;

4 While (( k < Max_n)&&(|err|³TOL)) do steps 5-7

Step 5 k ++;

6 ak= (xj1, j1)/(j1, j1); bk-1 = (j1, j1)/(j0, j0);
2(x) = (x – ak) j1(x) – bk-1 j0(x); ak = (j2, y)/(j2, j2);

(x) += ak j2(x); err -= ak (j2, y);

7 Set j0(x) = j1(x); j1(x) = j2(x);

Step 8 Output ( ); STOP.

c语言实现： #include 
    
      #include 
     
       #define MAXM 200 /* 采样点个数上限*/ #define MAXN 5 /* 拟合多项式阶数上限*/ /* 这里仅给出2个测试用例，正式裁判程序可能包含更多测试用例 */ double qi_x[MAXN+1][MAXN+1];//存储基底函数 double ak[MAXN+1];//存储拟合函数对应基地的系数 double f1(double x) { return sin(x); } double f2(double x) { return exp(x); } //用于求x的n次方 double power(double x,int n) { int i; double y=1; for(i=0;i 
      
        0;i--) temp[i]=x[i-1]; temp[0]=0; } //用于完成拟合函数和基底函数的内积 double get_function_inner_product(double (*f)(double t),double x[],double y1[],double w[],int m) { int i,j; double sum=0; double sum1; for(i=0;i 
       
         =*eps)) { k=k+1; double temp1[MAXN+1]={0}; carry_x(qi_x[k-1],temp1); m1=get_Inner_product(x,temp1,qi_x[k-1],w,m)/get_Inner_product(x,qi_x[k-1],qi_x[k-1],w,m); n=get_Inner_product(x,qi_x[k-1],qi_x[k-1],w,m)/get_Inner_product(x,qi_x[k-2],qi_x[k-2],w,m); Array_op(k,m1,n); // printf("%f\n",get_function_inner_product(f,x,qi_x[k],w,m)); ak[k]=get_function_inner_product(f,x,qi_x[k],w,m)/get_Inner_product(x,qi_x[k],qi_x[k],w,m); // printf("%f\n",ak[k]); err=err-ak[k]*get_function_inner_product(f,x,qi_x[k],w,m); } *eps=err; return k; } //输出实验结果 void print_results( int n, double c[], double eps) { /* 用于输出结果 */ int i; int m,k; for(m=0;m