导读
本文既可作为高中生(高二, 高三)的课外知识拓展, 也可用于大学生加深对坐标变换的理解.
我们初中学过反比例函数
并且知道反比例函数的图像是双曲线. 两条曲线, 所以是双曲线, 没有问题
.
但是上了高二以后才知道, 不是所以的两条曲线都叫双曲线的, 必须要到两个定点的距离之差是一个常数的点的轨迹才能叫双曲线, 偏一点都不行. 那么问题来了:
反比例函数的图像是真·双曲线吗?
更进一步地:
如果是, 那么
它的焦点在哪里?
是多少?
准线是什么?
下面始终假设
来讨论.
首先, 我们可以作一些合理的猜测. 如果是双曲线, 那么坐标轴就是它的渐近线. 由于两渐近线垂直, 所以应该是等轴双曲线. 所以离心率
. 进一步地,
和
是它的两个顶点, 所以
. 这样,
就可以都算出来了.
那么上面的猜测对不对呢? 我们通过精确的计算来说明这个问题.
要想知道反比例函数的图像是不是双曲线, 在原有的坐标系下看不出来, 要重新建立一个坐标系, 使得双曲线能有一个形如
的标准方程. 所以按下面这个方式建立一个新的坐标系:
我把这个坐标系叫做红坐标系, 原坐标系叫黑坐标系, 并且红坐标系中的一切我都用红色字来表示. 这样一来, 就有两套坐标系了, 于是每个点都有两个坐标, 在不同的坐标系中有不同的坐标. 例如说, 如果一个点在黑坐标系中的坐标是
, 经过简单的计算, 可以算出这个点在红坐标系中的坐标是
.
对于一般的点的两个坐标, 有这样的关系(红转黑):
或者(黑转红):
如图:
这个坐标转换公式可以用高中的知识证明, 但是非常烦琐. 如果用大学的矩阵知识来证明,却是十分简单.
有了这组坐标转换公式, 我们可以开始解决问题了. 通过坐标转换公式, 可以把黑坐标系下的曲线方程转换成红坐标系下的曲线方程, 看看是什么样子的. 我们的反比例函数图像在黑坐标系下的方程是
利用红转黑的坐标转换公式, 可以得出图像在红坐标系下的方程为
天哪! 这就是双曲线的标准方程! 在红坐标系下, 它终于现形了! 一切都已经变得很熟悉:
焦点是
;
;
准线是
;
要注意的是, 上面的结论是在红坐标系下的, 要得到黑坐标系下的答案, 还要再用一下坐标转换公式.
根据红转黑的坐标转换公式, 黑坐标系下的焦点坐标是:
也就是
和
;
是双曲线的固有属性, 在不同的坐标系下当然是一样的;
根据黑转红的坐标转换公式, 黑坐标系下的准线方程是:
也就是
和
.
到现在为止, 已经圆满地解决了文章开头的疑问. 实际上, 大学的解析几何有这样的结论: 对于曲线
如果
, 那么它表示双曲线(或双曲线的退化形式);
如果
, 那么它表示抛物线(或抛物线的退化形式);
如果
, 那么它表示椭圆(或椭圆的退化形式).
利用这个结论, 将’双勾函数’:
的表达式化简得
, 可知其图像也是真·双曲线(另一条渐近线是
).
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