注明：直观理解而已，正儿八经的严谨证明看最下面的参考。
Earth Mover’s Distance
推土机距离的例子：有一堆土的分布是 P r P_r Pr, 其随机变量是 x x x,现在要求把这堆土挪动成为分布 P g P_g Pg ，其随机变量是 y y y(图上是 P θ P_\theta Pθ)，这样做的方法很多，那么做最小功的挪动该是什么？这是一个优化问题对应着的最优解是：
这里 Π ( P r , P g ) \Pi(P_r, P_g) Π(Pr,Pg) 表示的是边缘分布是 P r P_r Pr 和 P g P_g Pg 的联合分布 ( P r , P g ) (P_r, P_g) (Pr,Pg) 集合，即 ∑ x γ ( x , y ) = P r ( y ) \sum_x \gamma(x,y) = P_r(y) ∑xγ(x,y)=Pr(y) ， ∑ y γ ( x , y ) = P θ ( x ) \sum_y \gamma(x,y) = P_\theta(x) ∑yγ(x,y)=Pθ(x).
γ ∈ Π ( P r , P θ ) \gamma \in \Pi(P_r, P_\theta) γ∈Π(Pr,Pθ), 求解 ( x , y ) (x,y) (x,y)服从联合分布 γ \gamma γ 时，关于 ∣ ∣ x − y ∣ ∣ ||x-y|| ∣∣x−y∣∣的期望，所有的解中最小的期望便是推土机距离。
直观的测度论
测度论提供了一些集合的特征，用来描述适用于 R n \mathbb R^n Rn空间的大多数点。
零测度：零测度集合在我们的度量空间中不占有任何的体积。比如二维空间中的一条直线的测度是0。
高维空间的低维子空间
高维空间中的很多点是多余的，真实数据蜷缩在低维子空间的流形上（即高维曲面），因为维度低，所占空间体积几乎为0，所以原始的GANs存在的问题是生成器的生成数据广泛分布在高维空间中，侦测不到真实数据，KL距离始终是log2，所以对生成器的梯度始终是0，怎么训练也没用。
Wasserstein距离的对偶式
相当于找到一个函数 f f f 求（3）的最大目标函数。这个函数满足 ∥ f ∥ L ≤ 1 \lVert f \lVert_{L \leq 1} ∥f∥L≤1, 1-Lipschitz 函数。
补充：2019年4月16日08:11:36
：我在简书里补充了一些资料和定义，需要的可以去看看：https://www.jianshu.com/p/b03de
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