方向导数
在一维空间的变化率就是 d x d y \frac{dx}{dy} dydx，也就是 f ′ ( x ) f'(x) f′(x)。在二维空间中，同样有导数，梯度是二维空间的导数，是某一点的变化情况。一维空间的导数只有大小，而二维空间有 x , y x,y x,y两个维度，所以在二维平面上就会形成一个方向。函数 z = f ( x , y ) z = f(x, y) z=f(x,y) 在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0, y_0) (x0,y0)的方向导数表示为：
∂ f ∂ l = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → \frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x}\overrightarrow{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\overrightarrow{j} ∂l∂f=∂x∂fi+∂y∂fj
梯度
函数 z = f ( x , y ) z = f(x, y) z=f(x,y) 在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0, y_0) (x0,y0)的梯度表示为：
∇ f ( x 0 , y 0 ) = ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2 \nabla f(x_0, y_0) = \sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x})^2 + (\frac{\partial f}{\partial y})^2} ∇f(x0,y0)=(∂x∂f)2+(∂y∂f)2
示例
举例来说，设函数 y = f ( x , y ) = e − x 2 − y 2 y=f(x,y) =e^{-x^2 – y^2} y=f(x,y)=e−x2−y2，其在点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0, y_0) P(x0,y0) 方向导数可以表示如下：
∂ f ∂ l = − 2 x 0 e − x 0 2 − y 0 2 i → − 2 y 0 e − x 0 2 − y 0 2 j → \frac{\partial f}{\partial l}= -2x_0e^{-x_0^2 – y_0^2}\overrightarrow{i} -2y_0e^{-x_0^2 – y_0^2}\overrightarrow{j} ∂l∂f=−2x0e−x02−y02i−2y0e−x02−y02j
其中 i → \overrightarrow{i} i 方向的系数由 f f f 对 x x x 的偏导数决定。类似的， j → \overrightarrow{j} j 方向的系数由 f f f 对 y y y 的偏导数决定。这样我们就可以求得点P在任意方向上的方向导数。其几何含义就是 f f f 在点P所有方向的变化速率。
几何意义
当曲面不是平面的时候，每个方向上的变化率是不一样的。如下图所示，在点P，其梯度就是在各个方向的变化。
参考文献
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