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[数学学习笔记]导数的定义

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[数学学习笔记]导数的定义导数的定义 为处的一个增量 这样 称函数 y f x 在处可导 极限值 A 为 y f x 在处的导数 并记作或或导数表示 因变量 y 在自变量处的变化率 例 1 利用导数的定义求函数在 x 3 处的导数 解 例 2 利用导数的定义求函数在 x 0 处的导数 解 导函数的定义 nbsp nbsp 如果函数 f x 在开区间 a b 内可导 那么对于开区间 a b 内的任意一点 x

导数的定义：

[数学学习笔记]导数的定义

\Delta x为x_0处的一个增量。

\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = A

这样，称函数y = f(x)在x_0处可导，极限值A为y =f(x)在x_0处的导数，并记作f'(x_0)或y'|_{x-x_0}或\frac{dy}{dx}|_{x-x_0}

导数f'(x_0)表示：因变量y在自变量x_0处的变化率。

例1：利用导数的定义求函数y = x^2在x = 3处的导数；

解：f'(3) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(3+\Delta x) - f(3)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(3+\Delta x)^2 - 3^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{6\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}(6+\Delta x) = 6

例2：利用导数的定义求函数y = \sin x在x = 0处的导数；

解：f'(0) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin \Delta x}{\Delta x} = 1

导函数的定义：

    如果函数f(x)在开区间(a,b)内可导，那么对于开区间(a,b)内的任意一点x的导数可以构成一个函数，称这个函数是函数f(x)在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，并记为：f'(x)或 y'或 \frac{dy}{dx}或 \frac{df}{dx}.

例3：利用导数的定义求f(x) = x^2的导函数f'(x).

解：f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2x+\Delta x) = 2x

导数的几何意义：

[数学学习笔记]导数的定义

f'(x_0)表示：函数y = f(x)在点P(x_0,y_0)处切线的斜率。

即：\tan \alpha = f'(x_0)

[数学学习笔记]导数的定义

可导与连续性

定理：如果函数y = f(x)在x_0处的导数f'(x_0)存在，那么它必将在x_0处连续。

y = f(x)在x_0处可导\Rightarrow f'_- (x) = f'_+(x)(左导数等于右导数)

 

[数学学习笔记]导数的定义

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