2.5 拉氏变换与反变换
机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。
2.5.1 拉普拉斯变换的定义
如果有一个以时间为自变量的实变函数，它的定义域是，那么的拉普拉斯变
换定义为
(2.10)
式中，是复变数，(σ、ω均为实数)，称为拉普拉斯积分；是函数
的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称为的象函数，而称
为的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式(2.10)表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数
。
2.5.2 几种典型函数的拉氏变换
1.单位阶跃函数
的拉氏变换
单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为
单位阶跃函数如图2.7所示，它表示在 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。
单位阶跃函数的拉氏变换式为
当，则。
所以
t ()t f 0≥t ()t f ()()()0
e d st
F s L f t f t t ∞
-=??????s ωσj +=s ?∞
-0
e st )(s F )(t
f )(s F )(t f )(t f )(s F )(s F )(1t ??
?≥)0(1
)0(0)(1t t t 0=t 0e 1
d e )(1)](1[)(0∞-===-∞-?st
st s
t t t L s F 0)Re(>s 0
e lim →-∞
→st t
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