1.柯西收敛原理表达了数列收敛的充分必要条件
2.数列收敛的充要条件是该数列为基本数列
3.实数系的基本定理包括实数系的连续性和完备性
4.实数系的连续性又称为确界存在定理,完备性即柯西收敛原理
5.实数系的连续性和完备性是等价的
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基本数列
- 例1
- 例2
在上一篇文章中，我们知道，例1的数列是收敛的，例2是调和级数，发散到正无穷大。因此，我们下面要研究的，就是基本数列与数列收敛的关系，这个就是数列收敛的充要条件——柯西收敛准则。
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柯西收敛原理
cauchy收敛原理：
数列收敛的充分必要条件是该数列为基本数列
先证明必要性：
再证明充分性:
证明充分性的时候，先证明数列有界，根据致密性定理得到其收敛子列。因为基本数列对于任意的m(大于N的任意项)都成立，因此蓝色框部分用m代替收敛子列(数列收敛与前有限项无关，只要取收敛子列中大于原数列第N项后面的无限项即可)是可以的。然后同样的，对于任意n(大于N的任意项)都有不等式成立(蓝色框)，先把n、ε看成常数固定，对于k趋于无穷，可根据数列保序性可以得到：
- 例3
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实数系的基本定理
至此，我们把实系数的基本定理全部介绍完毕，它包括：
其中，确界存在定理又称实数系的连续性，柯西收敛原理又称实数系的完备性。我们从确界存在定理出发，由上往下，依次证明了这五个定理。实际上，它们是相互等价的，也即——由任意一条定理都能推出其他四条定理。
实数系的完备性等价于实数系的连续性
这一节，我们就反过来证明一下。由柯西收敛原理证明闭区间套定理，再证明确界存在定理。
- 例4
- 例5
这里比较难懂的地方是利用反证法证明ξ是T的上确界，其实都利用了数列的保序性：
传送门：数列极限（二）
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