鄙人笔记，记一些知识点。
多元正态分布
1.1多元分布的基本概念
- 随机变量
假定所讨论的是多个变量的总体，所研究的数据是同时观测p 个指标（即变量），进行了n 次观测得到的，我们把这p 个指标表示为X1，X2，…，Xp，常用向量X ＝（X1，X2，…，Xp）′表示对同一个体观测的p 个变量。若观测了n 个个体，称每一个个体的p 个变量为一个样品，而全体n 个样品形成一个样本。
- 分布函数
描述随机变量的最基本工具是分布函数。类似地，描述随机向量的最基本工具还是分布函数。
- 多元变量的独立性
类似地，若联合分布等于各自分布的乘积，称 p个随机向量 X1，X2，…，Xp相互独立。由X1，X2，…，Xp相互独立可以推知任何 Xi与 Xj（ i ≠ j）独立，但是，若已知任何 Xi与 Xj（ i ≠ j）独立，并不能推出 X1，X2，…，Xp相互独立。
- 随机向量的数字特征
1.随机向量x的均值
2.随机向量X的协方差阵
称 ∣ cov（ X， X） ∣为 X的广义方差，它是协方差阵的行列式之值。
E(X’AX) = tr(A∑) + μ’Aμ
对于任何随机向量 X＝（X1，X2，…，Xp）′来说，其协方差阵 ∑都是对称阵，同时总是非负定（也称半正定）的。大多数情形下是正定的。
- 随机向量X的相关阵
在数据处理时，为了克服由于指标的量纲不同对统计分析结果带来的影响，往往在使用某种统计分析方法之前，将每个指标“标准化”。标准化数据的协方差阵正好是原指标的相关阵
1.2统计距离
- 欧氏距离
大部分多元方法是建立在简单的距离概念基础上的，即平时人们熟悉的欧氏距离，或称直线距离。一般，若点P 的坐标P ＝（x1，x2，…，xp），则它到原点O ＝（0，0，…，0）的欧氏距离，依勾股定理有：
任意两个点P＝（x1，x2，…，xp）与Q＝（y1，y2，…，yp）之间的欧氏距离为：
但就大部分统计问题而言，欧氏距离是不能令人满意的。这是因为每个坐标对欧氏距离的贡献是同等的。当坐标轴表示测量值时，它们往往带有大小不等的随机波动，在这种情况下，合理的办法是对坐标加权，使变化较大的坐标比变化小的坐标有较小的权系数，这就产生了各种距离。欧氏距离还有一个缺点，那就是当各个分量为不同性质的量时，“距离”的大小竟然与指标的单位有关。
- 统计距离
- 马氏距离
最常用的一种统计距离是印度统计学家马哈拉诺比斯（ Mahalanobis）于 1936年引入的距离，称为“马氏距离”。
设X，Y是从均值向量为μ，协方差阵为∑的总体G中抽取的两个样品，定义X，Y两点之间的马氏距离为：
定义X与总体G的马氏距离为：
- 基本公理
1.3多元正态分布
- 多元正态分布是一元正态分布的推广
多元正态分布是一元正态分布的推广。迄今为止，多元分析的主要理论都是建立在多元正态总体基础上的，多元正态分布是多元分析的基础。另一方面，许多实际问题的分布常是多元正态分布或近似正态分布，或虽本身不是正态分布，但它的样本均值近似于多元正态分布。
- 多元正态分布概率密度函数
若 p元随机向量 X＝（x1，x2，…，xp）′的概率密度函数为：
则称 X＝（ x1，x2，…，xp）′遵从 p元正态分布，也称 X为 p元正态变量，记为：
X～ N
p（ μ， ∑）
∣ ∑ ∣为协方差阵 ∑的行列式。
- 多元正态分布的性质
- 正态分布的条件分布
设X～Np（μ，∑），p≥2，将X，μ和∑剖分如下：
设 X～ Np（ μ， ∑）， ∑＞ 0，则:
（X
(1) ∣ X
(2) ）～ N
q（ μ
1· 2 ， ∑
11· 2）
1.5常用分布及抽样分布
- 统计量
- Wishart分布
设 X（α） ＝（ X α1， X α2，…， X αp）′（ α＝ 1， 2，…， n）相互独立，且 X（α）～ Np（ μ α， ∑），记 X＝（ X（1）， X（2），…， X（n）），则随机矩阵:
所遵从的分布称为自由度为 n的 p维非中心 Wishart分布，记为 W～ Wp（ n， ∑， Z）。其中， n ≥ p， ∑＞ 0
μ αi称为非中心参数，当 μ α＝ 0时称为中心 Wishart分布，记为 Wp（ n， ∑）
- T2分布
设 W～ Wp（ n， ∑）， X～ Np（ 0， c ∑）， c＞ 0， n ≥ p， ∑＞ 0， W与 X相互独立，则称随机变量
所遵从的分布称为第一自由度为 p、第二自由度为 n的中心 T2分布，记为 T2～ T2（ p， n）
- 中心 T2分布可化为中心 F分布
中心 T2分布可化为中心 F分布，其关系可表示为：
显然，当 p＝ 1时，有 T2（ 1， n）＝ F（ 1， n）。
- Wilks分布
F分布能否推广到多元呢？由于 F分布由两个方差比构成，而多元总体 Np（ μ， ∑）的变异由协方差阵确定，它不是一个数字，这就产生了如何用与协方差阵 ∑有关的一个量来描述总体 Np（ μ， ∑）的变异的问题，它是将 F分布推广到多元情形的关键。
描述 Np（ μ， ∑）的变异度的统计参数称为广义方差。围绕这一问题产生了许多方法，有的用行列式，有的用迹，主要的方法有以下几种：
设 W1～ Wp（ n1， ∑）， W2～ Wp（ n2， ∑）， ∑＞ 0， n1＞ p，且 W1与 W2相互独立，则:
所遵从的分布称为维数为p，第一自由度为n1，第二自由度为n2的Wilks分布，记为ʌ～ʌ（p，n1，n2）。
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