霍夫变换
1.What
霍夫变换是一种特征提取手段，用来提取形状（直线，圆等）边界[1]。
2.Why
形状边界假设是直线，这条线是很多点组成的一个集合。处理这个集合，比处理一个点要复杂的多。简单讲，霍夫变换就是想把一条线（边界）用点来处理，这样就会更容易提取出边界。
3.How
前面提到把线换成点来处理，其实是通过空间变换来实现的，变换后的空间就是霍夫空间。
3.1霍夫空间
直角坐标系（x，y）空间中，每条直线y = mx + c可以由两个参数确认：
(1)斜率m
(2)Y轴上的截距c
如果将m，c看成是自变量，有c=-xm+y，这个（m，c）空间就是霍夫空间。
3.2霍夫变换
3.2.1概念
对于（x，y）空间上的某个点(x1,y1)有y1 = mx1 + c，则c = -x1m + y1，这也就是霍夫空间上的一条直线。
对于（x，y）空间上的某条直线有y = m1x + c1，则c 1= -xm1 + y，这也就是霍夫空间上的一个点（m1，c1）。
总结：（x，y）空间 ->（m，c）空间,点变成直线，直线变成点。
3.2.2特点
如下图，左边（x，y）空间，右边是（m，c）空间
p1，p2，p3，p4是（x，y）空间上4个点。对应（m，c）空间上4条直线l1，l2，l3，l4。l1和l2的焦点的值，（m1，c1），对应的是（x，y）空间上穿过p1和p2点的直线的斜率和截距。同理l3和l4的焦点的值，（m2，c2）对应的是（x，y）空间上穿过p3和p3点的直线的斜率和截距。明白这个道理，就已经掌握这个变换的整个过程了。
3.2.3检测直线
检测（x，y）空间上直线：
(1)在霍夫空间中，统计直线的焦点次数，比如上图l1，l2，l3这三条直线的焦点，分别是l1，l2； l2，l3； l1，l3。因此次数是3。把这种统计焦点的次数称为投票。
(2)将统计好的点的次数，列表，如下
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Points |
No. of Votes |
|
(m11, c81) |
50 |
|
(m29, c36) |
80 |
|
(m30, c70) |
60 |
3.3极坐标系下的霍夫空间
为解决3.2.3中（4）的问题，我们将霍夫空间换成极坐标表示。（x，y）空间上的直线在极坐标系中表示如下：r = x1cos(Θ)+y1sin(Θ)，r是原点到直线的垂直距离，Θ是“距离”这个线段与x轴的夹角。如下图[2]
Θ范围(-90,+90),
r范围(0,diagonal_length),diagonal_length是原图对角 线长度。
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Points |
No. of Votes |
|
(Θ51, r83) |
100 |
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(Θ29, r46) |
80 |
|
(Θ30, r70) |
60 |
3.4补充
霍夫变换检测边缘只对边缘图片（经过canny或者sobe算子提取特征后的图片）有效，对一般的图片无效[3]。
参考文献
[1] https://jayrambhia.com/blog/hough-transform
[2] https://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/hough.htm
[3] https://aishack.in/tutorials/hough-transform-normal/
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