谱聚类（Spectral Clustering）原理及Python实现

谱聚类原理及Python实现

图模型

无向带权图模型 $G= <V,E></V,E>$ ，每一条边上的权重 $w_{ij}$ 为两个顶点的相似度，从而可以定义相似度矩阵 $W$ ，此外还可以定义度矩阵 $D$ 和邻接矩阵 $A$ ，从而有拉普拉斯矩阵 $L=D-A$ 。所以本文用到的矩阵总共两个： $L$ 和 $W$ 。

图的分割

一个图 $G$ 可能有很多个子图 $G_i$ （总共 $k$ 个），现在的任务是将大图分成若干小块，要求分法是最佳的。何为“最佳”呢，遍历每一个子图，计算一个切图惩罚，将他们加起来。式中的 $\hat{G}_i$ 表示子图 $G_i$ 的补集，代价函数 $C$ 计算的是连接两个子图之间的权重之和。

C o s t (G_{1}, \dots, G_{k}) = \sum_{i} C (G_{i}, {\hat{G}}_{i}) C (G_{1}, G_{2}) = \sum_{i \in G_{1}, j \in G_{2}} w_{i j}

$Cost(G_1,\cdots, G_k)=\sum_iC(G_i,\hat{G}_i)\\C(G_1,G_2)=\sum_{i\in G_1,j\in G_2} w_{ij}$

根据这个公式，对于下面这个图，假设点7和点8之间的权重值很小，那么很容易有红线所示的划分（假设二分），上面的代价函数计算出来的值很小。但显然绿色线所示才是最佳的分法。

距离度量与邻接矩阵

邻接矩阵某种程度上反映了图中各结点之间的相似性，普通的邻接矩阵元素非0即1，谱聚类中的邻接矩阵用KNN来计算。具体来说，遍历每一个结点 $x_i$ ，根据相似度（或距离）矩阵找出它的 $k$ 个最接近的点，构成 $x_i$ 的邻域 $N_i$ ，然后按以下规则之一构造邻接矩阵。

A i j = A j i = {0 exp - | | x i - x j | | 2 2 σ 2 x i \notin N j a n d x j \notin N i x i \in N j o r x j \in N i

$A_{ij}=A_{ji}=\left \{ \matrix{0 & x_i\notin N_j\ and x_j \notin \ N_i\\ \exp-\frac{||x_i-x_j||^2}{2\sigma^2} & x_i \in N_j \ or \ x_j \in N_i}\right.$

A i j = A j i = {0 exp - | | x i - x j | | 2 2 σ 2 x i \notin N j o r x j \notin N i x i \in N j a n d x j \in N i

$A_{ij}=A_{ji}=\left \{ \matrix{0 & x_i\notin N_j\ or \ x_j \notin \ N_i\\ \exp-\frac{||x_i-x_j||^2}{2\sigma^2} & x_i \in N_j \ and \ x_j \in N_i}\right.$

切图聚类

RatioCut 切法

为了解决上面这个局部最优问题，一个很自然的做法就是改进目标函数，要求每个划分出来的子图的结点数尽量大。例如上图，最佳划分对应的两个子图节点数都是4，而局部最优划分有一个子图节点数为1。

R a t i o C u t (G 1, \dots, G k) = \sum i C ( G i , G ̂ i ) | G ̂ i |

$RatioCut(G_1,\cdots, G_k)=\sum_i\frac{C(G_i,\hat{G}_i)}{|\hat{G}_i|}$

为了求解 $\min RatioCut(G_1,\cdots, G_k)$ ，引入指示向量 $f=(f_1,f_2,\cdots,f_k)$ ，每一个 $f_j$ 对应于一个子图 $G_j$ ，是一个 $n$ 维向量，每一维对应图中一个结点。意思就是每个子图 $G_j$ 维护一个 $n$ 维向量，将自己的点指示为常数，其余为0。

h_{j i} = {\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{| G_{j} |}} & v_{i} \in G_{j} \\ 0 & v_{i} \notin G_{j} \end{matrix}

$h_{ji}=\left \{ \matrix{\frac{1}{\sqrt{|G_j|}} & v_i\in G_j\\0 & v_i \notin G_j }\right.$

这样构造矩阵 $H_{k\times n}$ 有个特点，由于子图之间互斥，故 $H$ 每一列只能有一个1，于是 $h_j$ 之间都是正交的（即任意两行正交），因此矩阵相乘有 $H^TH=I$

由拉普拉斯矩阵的性质可知，两个子图的情况：

h T j L h j = 1 2 \sum m \sum n w m n (h j m - h j n) 2 = 1 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ \sum m \in G j \sum n \notin G j w m n (1 | G j | ‾ ‾ ‾ ‾ \sqrt - 0) 2 + \sum m \notin G j \sum n \in G j w m n (0 - 1 | G j | ‾ ‾ ‾ ‾ \sqrt) 2 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ = 1 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ \sum m \in G j \sum n \notin G j w m n | G j | + \sum m \notin G j \sum n \in G j w m n | G j | ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ = C o s t ( G j , G ̂ j ) | G j | = R a t i o C u t (G j, G ̂ j)

$h_j^TLh_j=\frac{1}{2}\sum_m\sum_n w_{mn}(h_{jm}-h_{jn})^2\\ =\frac{1}{2}\left (\sum_{m\in G_j}\sum_{n\notin G_j} w_{mn}(\frac{1}{\sqrt{|G_j|}}-0)^2 +\sum_{m\notin G_j}\sum_{n\in G_j} w_{mn}(0-\frac{1}{\sqrt{|G_j|}})^2 \right )\\ =\frac{1}{2}\left (\sum_{m\in G_j}\sum_{n\notin G_j} \frac{w_{mn}}{|G_j|} +\sum_{m\notin G_j}\sum_{n\in G_j} \frac{w_{mn}}{|G_j|} \right )\\ =\frac{Cost(G_j, \hat{G}_j)}{|G_j|}\\ =RatioCut(G_j, \hat{G}_j)$

好像很长，总结起来就是： $RatioCut(G_j, \hat{G}_j)=h_j^TLh_j$

推广到 $k$ 个子图，于是乎求解 $RatioCut$ 等价于求矩阵 $H^TLH$ 的迹：

R a t i o C u t (G 1, G 2, \dots, G k) = \sum j h T j L h j = \sum j (H T L H) j j = t r (H T L H)

$RatioCut(G_1,G_2,\cdots,G_k)=\sum_jh_j^TLh_j\\ =\sum_j (H^TLH)_{jj}=tr(H^TLH)$

对于任意一个给定的图，它的拉普拉斯矩阵 $L$ 是固定的，因此优化目标变成求解使得RatioCut最小的 $H$ ，每一个特定的 $H_{n\times k}$ 对应着对图的一种划分方法（ $k$ 分），找到这个 $H$ ，就等于找到了最佳的划分（聚类）。

s . t . arg min H t r (H T L H) H T H = I

$\matrix{& \arg \min_H tr(H^TLH) \\s.t. & H^TH = I}$

留意矩阵 $H^TLH$ 是一个 $k\times k$ 对角阵，各元素是 $h_j^TLh_j$ ，想要 $tr$ 最小，即个对角线元素加起来最小，即要求每个优化字母表 $h_j^TLh_j$ 都尽量小。那么要怎么求 $h_j^TLh_j$ 呢？答案是：将问题转化为计算拉普拉斯矩阵 $L$ 的 $k$ 个最小的特征值。
现在我们先做一个归一化，使得任意 $h_{j}$ 满足 $h_{j}^Th_j=1$

h j i \leftarrow h j i ( \sum k t = 1 h 2 j t ) 1 / 2

$h_{ji}\leftarrow\frac{h_{ji}}{\left ( \sum_{t=1}^kh^2_{jt}\right )^{1/2}}$

有了这个条件我们就可以利用瑞利熵的性质来求 $L$ 的特征值：

R (L, h_{j}) = \frac{h_{j}^{T} L h_{j}}{h_{j}^{T} h_{j}} = h_{j}^{T} L h_{j} = λ

$R(L,h_j)=\frac{h_j^TLh_j}{h_j^Th_j}=h_j^TLh_j=\lambda$

求得 $k$ 个最小的特征值，对应的 $k$ 个 $n$ 维特征向量拼起来就是我们所需要的 $H$ 矩阵。然而，仅取 $k$ 个特征值的做法会损失信息，因此现在得到的 $H$ 还不能直接用来指示每个结点属于哪个子图。
一般还需要对 $H_{n\times k}$ 做一次 Kmeans 聚类。具体来说，将 $H_{n\times k}$ 的每一行（ $k$ 维向量）当做一个样本的特征向量，然后用Kmeans聚类（设聚类个数是 $K$ ，并没有要求 $K= k$ ），将样本聚成 $C=(c_1,c_2,\cdots, c_K)$ 。

NCut 切法

RatioCut目标函数的分母是子图的点个数，NCut类似，分母换成子图中边的权重之和。

N C u t (G 1, \dots, G k) = \sum i C ( G i , G ̂ i ) v o l ( G ̂ i ) v o l (G = < V, E >) = \sum v i \in V \sum v j \in V w i j

$NCut(G_1,\cdots, G_k)=\sum_i\frac{C(G_i,\hat{G}_i)}{vol(\hat{G}_i)}\\ vol(G= <V,E> )=\sum_{v_i\in V}\sum_{v_j\in V}w_{ij} </V,E>$

定义指示变量：

hji=⎧⎩⎨⎪⎪1vol(Ĝ j)√0vi∈Gjvi∉Gj h j i = { 1 v o l ( G ^ j ) v i ∈ G j 0 v i ∉ G j

$h_{ji}=\left \{ \matrix{\frac{1}{\sqrt{vol(\hat{G}_j)}} & vi\in G_j\\0 & v_i \notin G_j }\right.$

它的特点是 $H^TDH=I$

h T j D h j = \sum j h 2 i j d j = 1 v o l ( G j ) \sum v i \in G j w i = v o l ( G j ) v o l ( G j ) = 1

$h_j^TDh_j=\sum_j h^2_{ij}d_j=\frac{1}{vol(G_j)}\sum_{v_i\in G_j}w_i=\frac{vol(G_j)}{vol(G_j)}=1$

同RatioCut，可以推出：

N C u t (G j, G ̂ j) = h T j L h j N C u t (G 1, G 2, \dots, G k) = \sum j h T j L h j = \sum j (H T L H) j j = t r (H T L H)

$NCut(G_j,\hat{G}_j)=h_j^TLh_j\\ NCut(G_1,G_2,\cdots,G_k)=\sum_jh_j^TLh_j =\sum_j (H^TLH)_{jj}=tr(H^TLH)$

优化目标：

s . t . arg min H t r (H T L H) H T D H = I

$\matrix{& \arg \min_H tr(H^TLH) \\s.t. & H^TDH = I}$

令 $H=D^{-1/2}F$ ， $H^TLH=F^TD^{-1/2}LD^{-1/2}F$ ， $H^TDH=F^TF=I$ ，即：

s . t . arg min F t r (F T D - 1 / 2 L D - 1 / 2 F) F T F = I

$\matrix{& \arg \min_F tr(F^TD^{-1/2}LD^{-1/2}F) \\s.t. & F^TF = I}$

所以问题变成了求矩阵 $D^{-1/2}LD^{-1/2}$ 的 $k$ 个最小的特征值。

Python实现

谱聚类整体流程

计算距离矩阵（例如欧氏距离）
利用KNN计算邻接矩阵 A ” role=”presentation” style=”position: relative;”>
- 由 $A$ 计算度矩阵 $D$ 和拉普拉斯矩阵 $L$
- 标准化 $L\rightarrow D^{-1/2}LD^{-1/2}$
- 对矩阵 $D^{-1/2}LD^{-1/2}$ 进行特征值分解，得到特征向量 $H_{nn}$
- 将 $H_{nn}$ 当成样本送入 Kmeans 聚类
- 获得聚类结果 $C=(C_1,C_2,\cdots,C_k)$
- 1. 距离矩阵
```
def euclidDistance(x1, x2, sqrt_flag=False): res = np.sum((x1-x2)2) if sqrt_flag: res = np.sqrt(res) return res def calEuclidDistanceMatrix(X): X = np.array(X) S = np.zeros((len(X), len(X))) for i in range(len(X)): for j in range(i+1, len(X)): S[i][j] = 1.0 * euclidDistance(X[i], X[j]) S[j][i] = S[i][j] return S
```
  2. 邻接矩阵
```
def myKNN(S, k, sigma=1.0): N = len(S) A = np.zeros((N,N)) for i in range(N): dist_with_index = zip(S[i], range(N)) dist_with_index = sorted(dist_with_index, key=lambda x:x[0]) neighbours_id = [dist_with_index[m][1] for m in range(k+1)] # xi's k nearest neighbours for j in neighbours_id: # xj is xi's neighbour A[i][j] = np.exp(-S[i][j]/2/sigma/sigma) A[j][i] = A[i][j] # mutually return A 
```
  3. 标准化的拉普拉斯矩阵
```
def calLaplacianMatrix(adjacentMatrix): # compute the Degree Matrix: D=sum(A) degreeMatrix = np.sum(adjacentMatrix, axis=1) # compute the Laplacian Matrix: L=D-A laplacianMatrix = np.diag(degreeMatrix) - adjacentMatrix # normailze # D^(-1/2) L D^(-1/2) sqrtDegreeMatrix = np.diag(1.0 / (degreeMatrix (0.5))) return np.dot(np.dot(sqrtDegreeMatrix, laplacianMatrix), sqrtDegreeMatrix)
```
  https://github.com/SongDark/SpectralClustering
  
  4. 特征值分解
```
lam, H = np.linalg.eig(Laplacian) # H'shape is n*n
```
  5. Kmeans
```
from sklearn.cluster import KMeans def spKmeans(H): sp_kmeans = KMeans(n_clusters=2).fit(H) return sp_kmeans.labels_
```
  github
  
  聚类结果如下，左边是谱聚类，右边是Kmeans聚类，显然谱聚类效果更好。其实sklearn已经有实现谱聚类（sklearn.cluster.SpectralClustering），嫌麻烦的可以直接调用，我只是为了搞懂谱聚类算法的一些细节才参照着其他文章自己用python重新实现了一遍。
  
  总结
  
  谱聚类是一种基于数据相似度矩阵的聚类方法，它定义了子图划分的优化目标函数，并作出改进（RatioCut和NCut），引入指示变量，将划分问题转化为求解最优的指示变量矩阵 $H$ 。然后利用瑞利熵的性质，将该问题进一步转化为求解拉普拉斯矩阵的 $k$ 个最小特征值，最后将 $H$ 作为样本的某种表达，使用传统的聚类方法进行聚类。
  我对于谱聚类的理解是，原本相似度矩阵就是对样本点的一种特征表达（特征维数等于样本数），现在进行了谱聚类求得的特征值矩阵，实际上是对原始特征矩阵的一种降维（也可能是升维），总之就是将样本从原始空间变换（可能是线性的也可能是非线性的）到另一个空间，在这个空间中具有良好的全局欧式性。
  
  参考资料

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