柯西收敛原理
基本数列的定义
如果数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 具有以下特性：对于任意给定的 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0,存在正整数 N N N,使得当 n , m > N n,m>N n,m>N 时，成立
∣ x n − x m ∣ < ε |x_n-x_m|<\varepsilon ∣xn−xm∣<ε
则称数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 是一个基本数列。
柯西收敛原理
数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 收敛的充要条件是数列 { x n } \{x_n\} {
xn} 是基本数列
柯西收敛原理的证明
先证明必要性
设 { x n } \{x_n\} {
xn} 收敛于 a a a ，按照定义， ∀ ε > 0 , ∃ N , ∀ n , m > N \forall \varepsilon>0,\exist N,\forall n,m>N ∀ε>0,∃N,∀n,m>N:
∣ x n − a ∣ < ε / 2 , ∣ x m − a ∣ < ε / 2 , |x_n-a|<\varepsilon/2,|x_m-a|<\varepsilon/2, ∣xn−a∣<ε/2,∣xm−a∣<ε/2,
所以
∣ x n − x m ∣ ⩽ ∣ x m − a ∣ + ∣ x n − a ∣ < ε |x_n-x_m|\leqslant|x_m-a|+|x_n-a|<\varepsilon ∣xn−xm∣⩽∣xm−a∣+∣xn−a∣<ε
所以 { x n } \{x_n\} {
xn} 是基本数列.
再证明充分性：
先证明 { x n } \{x_n\} {
xn} 有界。
对于 ε = 1 , ∃ N , ∀ n > N \varepsilon=1,\exist N,\forall n>N ε=1,∃N,∀n>N：
∣ x n − x N + 1 ∣ < ϵ = 1 |x_n-x_{N+1}|<\epsilon=1 ∣xn−xN+1∣<ϵ=1
令：
M = max { ∣ x 1 ∣ , ∣ x 2 ∣ , ⋯ , ∣ x N ∣ , ∣ x N + 1 ∣ + 1 } M=\max\{|x_1|,|x_2|,\cdots,|x_N|,|x_{N+1}|+1\} M=max{
∣x1∣,∣x2∣,⋯,∣xN∣,∣xN+1∣+1}
那么， ∣ x n ∣ < M , n = 1 , 2 , 3 , ⋯ |x_n|
∣xn∣<M,n=1,2,3,⋯
根据 BW(bolzano-Weierstrass) 定理， ∣ x n ∣ |x_n| ∣xn∣ 存在收敛子列， ∣ x n k ∣ |x_{n_k}| ∣xnk∣。
设 { x n k } \{x_{n_k}\} {
xnk} 收敛于 ξ \xi ξ，则 ∀ ϵ , ∃ k , ∀ p , q > k \forall\epsilon,\exist k,\forall p,q>k ∀ϵ,∃k,∀p,q>k：
因为 { x n } \{x_n\} {
xn} 是基本数列，所以 ∀ ε > 0. ∃ N , ∀ n , m > N \forall \varepsilon>0.\exist N,\forall n,m>N ∀ε>0.∃N,∀n,m>N：
∣ x n − x m ∣ < ϵ 2 |x_n-x_m|<\frac{\epsilon}{2} ∣xn−xm∣<2ϵ
在上式中取 x m = x n k x_m=x_{n_k} xm=xnk ，其中 k k k 充分大，满足 n k > N n_k>N nk>N ，并且令 k → ∞ k\to\infty k→∞，于是得到
∣ x n − ξ ∣ ⩽ ϵ 2 < ϵ |x_n-\xi|\leqslant \frac{\epsilon}{2}<\epsilon ∣xn−ξ∣⩽2ϵ<ϵ
所以 { x n } \{x_n\} {
xn} 收敛
2021年9月25日18:24:20
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